![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Улучшение аппроксимации. Метод Рунге-Ромберга. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Как видно из конечно-разностных соотношений для аппроксимации производных, порядок их точности прямо пропорционален числу узлов, используемых при аппроксимации. Однако с увеличением числа узлов эти соотношения становятся более громоздкими, что приводит к существенному возрастанию объема вычислений. Усложняется также оценка точности получаемых результатов. Существует простой и эффективный способ уточнения решения при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-разностных соотношениях. Это метод Рунге-Ромберга. Сущность его в следующем. Пусть
где
Тогда выражение для аппроксимации производной в общем случае можно представить в виде:
Запишем это соотношение в той же точке
Будем считать, что в силу достаточной малости Приравнивая правые части равенств (2) и (3), находим выражение для главного члена погрешности аппроксимации производной
Это есть первая формула Рунге. Она показывает, что расчет по второй сетке позволяет оценить погрешность расчета на первой сетке (с точностью до членов более высокого порядка). Подставляя (4) и (2), получим вторую формулу Рунге:
Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной Метод Рунге оценки погрешности и повышения точности результата очень прост, применим в большом числе случаев и исключительно эффективен. Пример. Пусть функция
и требуется вычислить Решение. Выберем для вычислений формулу
порядок точности, которой Полагаем
Увеличивая шаг
Производя вычисления по второй формуле Рунге, где
Искомое же значение
Мы рассмотрели уточнение решения, полученного при двух значениях шага. Предположим теперь, что расчеты могут быть проведены с шагами
Таким образом, порядок точности возрастает на
Контрольный пример. Материальная точка
Найти скорость
Ответ:
|