Улучшение аппроксимации. Метод Рунге-Ромберга.

Как видно из конечно-разностных соотношений для аппроксимации производных, порядок их точности прямо пропорционален числу узлов, используемых при аппроксимации. Однако с увеличением числа узлов эти соотношения становятся более громоздкими, что приводит к существенному возрастанию объема вычислений. Усложняется также оценка точности получаемых результатов.

Существует простой и эффективный способ уточнения решения при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-разностных соотношениях. Это метод Рунге-Ромберга. Сущность его в следующем.

Пусть – производная, которая подлежит аппроксимации; – конечно-разностная аппроксимация этой производной на равномерной сетке с шагом ; – остаточный член (погрешность) аппроксимации, который имеет следующую структуру:

(1)

где – главный член погрешности, т.е.

.

Тогда выражение для аппроксимации производной в общем случае можно представить в виде:

(2)

Запишем это соотношение в той же точке при другом шаге . Получим

(3)

Будем считать, что

в силу достаточной малости .

Приравнивая правые части равенств (2) и (3), находим выражение для главного члена погрешности аппроксимации производной

.

(4)

Это есть первая формула Рунге.

Она показывает, что расчет по второй сетке позволяет оценить погрешность расчета на первой сетке (с точностью до членов более высокого порядка).

Подставляя (4) и (2), получим вторую формулу Рунге:

(4)

Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной и (с шагами и ) с порядком точности найти ее уточненное значение с порядком точности .

Метод Рунге оценки погрешности и повышения точности результата очень прост, применим в большом числе случаев и исключительно эффективен.

Пример. Пусть функция задана таблицей

	0.000	0.301	0.478	0.602	0.699

и требуется вычислить .

Решение. Выберем для вычислений формулу

,

порядок точности, которой .

Полагаем и получим

.

Увеличивая шаг вдвое (), будем иметь

.

Производя вычисления по второй формуле Рунге, где , получим уточненное значение

.

Искомое же значение

.

Мы рассмотрели уточнение решения, полученного при двух значениях шага. Предположим теперь, что расчеты могут быть проведены с шагами . Тогда можно получить уточненное решение для производной по формуле Ромберга, которая имеет вид

.

Таким образом, порядок точности возрастает на . Заметим, что для успешного применения уточнения исходная функция должна иметь непрерывные производные достаточно высокого порядка.

Контрольный пример.

Материальная точка движется прямолинейно. Закон движения представлен с помощью таблицы ( – время в секундах, – путь в метрах):

Найти скорость и ускорение точки в следующие моменты времени:

.

Ответ: ,

.