О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования.

Пусть на отрезке введена сетка

и определены значения в точках сетки.

Значения функции в точках сетки вычисляются с каким-то приближением. Например, элементарные трансцендентные функции вычисляются с помощью рядов, а ряды заменяются конечными суммами. Другим источником погрешностей являются округления.

Оказывается, что погрешность, возникающая при вычислении разностных отношений, намного превосходит погрешность в задании значений функции и даже может неограниченно возрастать при . Поэтому операцию вычисления разностных отношений называют некорректной.

Поясним причину некорректности на примере вычисления разностного отношения

Пусть вместо точных значений вычислены приближенные значения

.

Тогда вместо величины

будет вычислена величина

Следовательно, погрешность в вычислении первой разностной производной

Погрешность такого рода будем называть погрешностями округления (хотя их реальная природа может быть иной).

Пусть известна граница погрешностей , т.е. , . Тогда

т.е.

(25)

причем эта оценка достигается при

.

Из оценки видно, что вследствие малости погрешность, возникающая при вычислении первой разностной производной, значительно превосходит погрешность вычисления самой функции . Если Е не зависит от , то погрешность неограниченно возрастает при .

Полученный результат не означает, что нельзя пользоваться формулами численного дифференцирования. Чтобы не происходило большого понижения точности, надо потребовать выполнения условия

, (26)

т.е. погрешность округления должна быть сравнима с погрешностью аппроксимации.

Неравенство (25) показывает, что если величина Е задана и мы ее менять не можем, то вычисления надо проводить с произвольно малым шагом , а с шагом, удовлетворяющим условию:

.

При вычислении производных более высокого порядка, когда в знаменатель разностного отношения входит величина , влияние неточности в задании сказывается еще сильнее.