Пересечение прямой с поверхностью (многогранной и кривой)

ЛЕКЦИЯ №8

Пересечение прямой с поверхностью (многогранной и кривой).

Пересечение прямой с поверхностью (многогранной и кривой)

Снова рассмотрим несколько типов задач.

24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность

Пример 1. Построить точки пересечения М и N прямой l с поверхностью трехгранной вертикальной призмы (рисунок 8-1).

Решение задачи начинаем с вида сверху, где имеется вырожденный вид призмы - боковые грани ее изображаются отрезками прямых. Точки М и N на этом виде определяются без дополнительных построений - они находятся на пересечении прямой l с проекциями граней призмы. По данному виду находим эти точки на виде спереди. Видимость прямой определяем исходя из взаиморасположения прямой и призмы. На виде спереди точка М - видимая, т.к. принадлежит видимой грани призмы; следовательно участок вправо от т. М тоже видимый. Точка N принадлежит невидимой грани, и, следовательно, t.N и участок прямой влево от нее до контура призмы - невидимый. Участок между точками М и N, находящийся внутри призмы, тоже невидимый. На виде сверху будет невидимым только участок прямой между точками М и N.

Пример 2. Построить точки пересечения М и N прямой l с поверхностью цилиндра (рисунок 8-2).

Решение задачи начинаем с вида спереди, где имеется вырожденный вид цилиндра.

Проверяем, являются ли точки пересечения прямой l с вырожденным видом боковой поверхности цилиндра действительными точками пересечения. Для этого найдем точки на виде сверху. Из чертежа следует, что точка отмеченная крестиком * находится вне контура цилиндра, и, следовательно, она не является точкой пересечения. Это означает, что прямая l в этом месте будет пересекать не боковую поверхность цилиндра, а его основание, которое вырождается на виде сверху в отрезок прямой. Точка М - одна из искомых точек. Точка М, найденная на виде сверху лежит в пределах контура цилиндра и является второй точкой пересечения. Видимость прямой определяем пространственным представлением.

24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения

Пример 3. Построить точки пересечения М и N прямой l, перпендикулярной к фронтальной плоскости, с поверхностью пирамиды (рисунок 8-3).

Решение задачи начинаем с вида спереди, где прямая вырождается в точку. Точки пересечения, поэтому здесь будут совпадать с вырожденным видом прямой.

Прямая " пронзает" пирамиду в двух ее гранях: ASC и АSВ. Для нахождения точек М и N на виде сверху проведем через эти точки на виде спереди вспомогательные прямые S-1 и S-2 в гранях ASС и ASB соответственно. Пересечение этих вспомогательных прямых на виде сверху с прямой l определит положение точек М и N.

Видимость прямой определяем исходя из пространственного представления.

Пример 4. Построить точки пересечения М и N прямой i, перпендикулярной к фронтальной плоскости, со сферой (рисунок 8-4).

Точки пересечения М и N на виде спереди будут совпадать с вырожденным видом прямой i.

Для нахождения их на виде сверху, проведем на поверхности сферы вспомогательную графически простую линию, проходящую через точки М и N,

Такой линией является параллель h сферы (окружность). Пересечение параллели с прямой i на виде сверху определит положение искомых точек. Определяем видимость прямой.

Как видно из рассмотренных задач, в основе построения точек пересечения прямой с поверхностью лежит свойство принадлежности линии и поверхности.

Линией на поверхности сферы, конкурирующей с данной прямой, является окружность.

При решении задач следует строить такую конкурирующую линию, которая проецируется на видах как графически простая линия (прямая или окружность) - при этом значительно упрощается решение.

Если в предлагаемой задаче построить вспомогательную линию горизонтально-конкурирующую с прямой h, то эта линия на виде спереди изобразится эллипсом, построение которого довольно сложно.

Решение упрощается, если на сфере построить линию фронтально-конкурирующую с горизонталью h, т.к. в этом случае окружность на виде сверху проецируется без искажения. Точки пересечения окружности с горизонталью будут искомыми.

Видимость прямой определяется исходя из видимости поверхности сферы. На виде сверху видна часть поверхности, лежащая выше экватора, поэтому здесь будет невидима только часть прямой, лежащая между точками М и N.находящаяся внутри поверхности.

На виде спереди видимой будет часть поверхности, которая лежит перед главным меридианом т. Точка М находится перед главным меридианом m, поэтому она на виде спереди видна; участок прямой влево от т.М тоже будет видимым. Точка N, наоборот, невидна; участок вправо от нее до контура сферы тоже невидим.