Общая постановка задачи при принятии оптимальных решений

I. Теоретическая часть

Общая постановка задачи при принятии оптимальных решений

Во многих экономических задачах зависимости между постоянными и переменными факторами могут быть как линейными, так и нелинейными. Как правило, такие показатели как прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производство и др. а действительности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т.п. нелинейно.

В этом случае возникает задача программирования, математическая модель которой имеет следующий вид:

вычислить переменные х₁, х₂, …, х_n, (1.1)

удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

(1.2)

при условии нетрицательности переменных , (1.3)

и обращающие в максимум или минимум целевую функцию

Z = . (1.4)

Из математики известно, что упорядоченная совокупность значений n переменных х₁, х₂, …, х_n представляется точкой n – мерного пространства. В дальнейшем эту точку будем обозначать X = (х₁, х₂, …, х_n), а само оптимальное решение X* = (х₁*, х₂*, …, х_n *).

Это и есть классическая математическая (формальная) постановка задачи программирования (линейного или нелинейного).

В тех случаях, когда функции f и φ, хотя бы дважды дифференцируемы (имеют первую и вторую частные производные), среди ограничений нет неравенств, условия неотрицательности переменных не являются обязательными, переменные не являются дискретными и m < n, можно применять классические методы оптимизации (методы дифференциального исчисления).

Используя классические методы оптимизации, следует четко представлять различие между локальным экстремумом функции, глобальным экстремумом и условным экстремумом.

Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше двух.

В дальнейшем будем всегда предполагать, что функция Z = = f(X) дважды дифференцируема в точке X* = (х₁*, х₂*, …, х_n *), ( и в некоторой ее окрестности. Если для всех точек Х этой окрестности f(X*) ≥ f(X) или f(X*)≤ f(X), то говорят, что функция f(X) имеет в точке Х* экстремум (соответственно максимум или минимум).

Точка Х*, в которой все частные производные функции z = f(X) равны 0, называется стационарной точкой.