Однопараметрическая постановка и решение задачи оптимизации

В однопараметрической постановке (n = 1) задача поиска оптимума функции достаточно проста.

В соответствующем разделе (дифференциальное и интегральное исчисление) высшей математики доказаны необходимое и достаточное условие существования экстремума функций, удовлетворяющих условиям Дирихле.

Необходимым условием существования экстремума дифференцируемой на интервале (a, b) функции одного переменного f в точке х₀ Î (a, b), является равенство нулю в этой точке ее первой производной, т.е f’(х₀)=0. При этом касательная к графику функции f, проходящая через точку (х₀, f(x₀)), параллельна оси х.

Однако необходимое условие не является достаточным, для того чтобы эта стационарная точка была бы точкой экстремума.

Для получения достаточных условий необходимо определить в стационарной точке знак производной второго порядка.

Достаточное условие существования экстремума формулируется следующим образом:

1) если функции f дважды дифференцируема в точке x₀ и f’(х₀)=0, а f”(х₀) > 0), (f”(х₀) < 0), то функция f имеет в точке х₀ локальный минимум (максимум);

2) пусть функция f k раз дифференцируема в точке х₀. Далее, пусть f⁽ⁿ⁾(x₀) = 0 при n = 1,... k-1 и f^(k)(x₀) ¹ 0. Если k четное, то функция f имеет в точке х₀ при f^(k)(x₀) > 0 минимум, а при f^(k)(x₀) < 0 максимум. Если k – нечетно, то экстремума нет.

Вместе с тем, в высшей математике показано, что в отдельных случаях, даже если предположение о дифференцируемости функции f в необходимых (соответственно достаточных) условиях не выполняется, тем не менее функция может иметь экстремумы.

Пример Функция f = |x| не дифференцируема в точке х₀, однако имеет в ней минимум. В таком случае важным вспомогательным средством является соображение о монотонности функции вблизи исследуемых точек. Так функция f = |x|, является строго убывающей при х < 0 и строго возрастающей, при х> 0. Следовательно, точка х = 0 является ее минимумом.

Постановка и решение задачи значительно усложняются, если используется многопараметрическая оптимизация.

3 Многопараметрическая постановка и решение задачи оптимизации методом «исключения»

Классическая математическая постановка задачи многопараметрической оптимизации состоит в том, чтобы вычислить экстремальное (минимальное или максимальное) значение некоторой функции f(x₁, x₂,...x_n) в определенной области S значений параметров x₁, x₂,...x_n. Область S обычно задается системой неравенств вида g(x₁, x₂,...x_n ³ 0 или g(x₁, x₂,...x_n £ 0.

Точка М(y₁, y₂,...y_n) тогда и только тогда принадлежит области S, когда ее координаты удовлетворяют всем неравенствам, задающим эту область. Если при этом имеют место строгие неравенства, то точка оказывается внутри области. В случае же, когда, хотя бы одно из неравенств обращается в равенство, точка попадает на границу области.

При этом предполагается, что задающие границы области функции g являются непрерывными.

Если функция f также непрерывна, то в конечной области S найдутся точки М₁ и М₂, в которых эта функция имеет максимальное и минимальное значения (таки точек может оказаться несколько или даже бесконечное множество).

Если экстремум достигается во внутренней точке области, а функция f дифференцируема, то в точке экстремума все частные производные , (i =1, 2,.., n) обращаются в нуль (для граничных точек в общем случае это неверно). На этом и основан классический метод вычисления экстремума: вычисляются точки М(y₁, y₂,...y_n), координаты которых удовлетворяют системе уравнений = 0, (i =1, 2,.., n) и которые лежат внутри области S.

Однако, условие обращения в нуль частных производных является необходимым, но недостаточным условием экстремума. Поэтому все вычисленные точки должны подвергаться дополнительной проверке. На практике это чаще всего делается путем вычисления значений функции f во всех полученных точками вычисления среди них наибольшего и наименьшего значений. В случае, когда заранее известно, что экстремальные значения достигаются функцией f внутри области, указанная процедура приводит к локальному решению задачи. Вместе с тем, в реальных же задачах управления наиболее часто экстремальное значение достигается именно на границе области.

В таком случае возникает задача на условный экстремум: вычислить точки M(x₁, x₂,...x_n) экстремума функции f при условии, что они удовлетворяют одному или нескольким граничным уравнениям

g₁(x₁, x₂,...x_n) = 0,..., g_m(x₁, x₂,...x_n)= 0.

Формально это записывается следующим образом.

Необходимое условие экстремума. Если в точке Х* функция z = f(X) имеет экстремум, то частные производные функции в данной точке равны нулю: .

Следовательно, точки экстремума функции z = f(X) удовлетворяют системе уравнений

(1.5)

…………………

.

Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточным для того, чтобы стационарная точка была бы точкой экстремума.

Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка d²f(x₁, x₂, …, x_n). Из математики известно, что этот дифференциал равен сумме произведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов.

Если от частной производной по вычислить производную по переменной x_j, то получим частную производную второго порядка по переменным x_i, x_j, которая обозначается . В этом случае

.

Таким образом, достаточные условия существования в точке Х⁰ экстремума можно сформулировать следующим образом:

а) в стационарной точке Х⁰ функция z = f(X) имеет максимум, если d²f(X⁰) < 0, и минимум, если d²f(X⁰) > 0 при любых ∆ x_i и ∆ x_j (в этом случае Х⁰ = Х*), не обращающихся в нуль одновременно;

б) если d²f(X⁰) может принимать в зависимости от ∆ x_i и ∆ x_j и положительные и отрицательные значения, то в точке Х⁰ экстремум не наблюдается;

в) если d²f(X⁰) может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях ∆ x_i и ∆ x_j, то вопрос об экстремуме в данной точке остается открытым.

Для функции и двух переменных z = f(x₁, x₂) достаточные условия еще сложны. Частных производных второго порядка всего четыре:

, , , .

Из них две смешанные производные и , если непрерывны, то равны.

Введем обозначения:

, , , .

Нетрудно убедиться, что а₁₂ = а ₂₁.

Из полученных обозначений составим определитель:

.

В такой постановке достаточные условия экстремума функции двух переменных примут следующий вид:

а) если ∆ > 0 и а₁₁ < 0 (a₂₂ < 0), то в точке Х⁰ функция имеет максимум:

б) если ∆ > 0 и а₁₁ > 0 (a_{22 >} 0), то в точке Х⁰ функция имеет минимум;

в) если ∆ < 0 - экстремума в данной точке нет;

г) если ∆ = 0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Необходимо отметить, что в рассмотренном случае речь идет только о локальном экстремуме.

В практических же задачах, как правило, требуется определить наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой области (определить ее глобальный экстремум).

Говорят, что функция z = f(X) имеет в точке Х⁰ заданной области S глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум 9наименьшее значение), если неравенство f(X) ≤ f(X⁰) или f(X) ≥ f(X⁰) соответственно выполняется для любой точки Х S.

В этом случае важное практические применение имеет теорема немецкого математика Вейерштрасса: если область S замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция z = f(X) достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной очке, или в граничной точке области.