Метод Холецкого

Дана СЛАУ , где – симметрическая положительно определенная матрица, для которой справедливо разложение , где – нижняя треугольная матрица с единичной диагональю; - положительно определенная диагональная матрица.

Такое разложение может быть выполнено за шагов, причем на -м шаге определяют -ю строку матрицы и -й элемент матрицы . Выражения для нахождения этих элементов имеют вид

, ; .

После того, как матрицы и будут найдены, заменим исходную систему двумя эквивалентными ей системами

Эти уравнения можно решить, последовательно вычисляя величины

, ; , .

Метод LU-разложения

В современных программах, реализующих метод Гаусса, вычисления разбивают на два основных этапа. Первый – вычисление LU-разложения матрицы системы, второй – обработка правых частей и вычисление решения.

Для проведения первого этапа не нужна информация о правой части СЛАУ, и поэтому он может быть выполнен независимо. Это этап предварительной подготовки к быстрому вычислению решения. Именно для получения LU-разложения производится основная масса вычислений ( арифметических операций).

Итак, в результате выполнения первого этапа СЛАУ будет преобразована к виду

На втором этапе: 1) преобразуют по формулам прямого хода, т.е. СЛАУ преобразуют к виду ; 2) с помощью обратной подстановки (обратный ход) решают полученную систему. Для непосредственного вычисления решения на втором этапе требуется арифметических операций.