Метод прогонки

Это простой и эффективный алгоритм решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами:

(6)

Выведем расчетные формулы. Из первого уравнения системы (6) получим

, где , .

Подставим выражение для во второе уравнение системы (6) и получим

Преобразуем это уравнение к виду

, где , .

Подставляем последнее выражение в третье уравнение и т.д. На -м шаге этого процесса () уравнение системы преобразуется к виду

, (7)

где , .

На -м шаге подстановка в последнее уравнение выражения приведет к уравнению . Отсюда . Значения остальных неизвестных для вычисляются по формуле (7).

Алгоритм метода прогонки состоит из двух этапов. Прямой ход (прямая прогонка) состоит в вычислении прогоночных коэффициентов и . При коэффициенты вычисляют по формулам: , , , а при - по рекуррентным формулам:

, , .

При прямая прогонка завершается вычислением

, .

Обратный ход (обратная прогонка) дает значения неизвестных. Сначала полагают . Затем значения остальных неизвестных вычисляют по формуле , .