Краткие сведения

При анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами и , которые получены в результате измерений. Как правило, общий вид этой функциональной зависимости известен, а некоторые числовые параметры закона неизвестны.

Пусть, например, функция задана в виде Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между и многочленом заданной степени :

.

Для решения этой задачи применяют критерий наименьших квадратов. Согласно этому критерию, коэффициенты многочлена нужно выбрать такими, чтобы сумма квадратов отклонений найденного многочлена от заданных значений функции была минимальной. Другими словами, коэффициенты должны минимизировать функцию

.

В точке минимума функции её производные обращаются в нуль. Дифференцируя и приравнивая нулю производные, получим систему линейных алгебраических уравнений:

Отметим, что общее количество вычисляемых сумм равно .

Получена СЛАУ относительно неизвестных . Определитель этой системы отличен от нуля. В алгоритме, представленном на рис.6.1, для решения методом Гаусса СЛАУ приведена к виду:

Рис.6.1 – алгоритм аппроксимации степенным полиномом

по критерию наименьших квадратов