Сведение двойного интеграла к повторному(2случая).

1сл. Теорема о переходе от ò ò к повторному для прямоугольной области.

Рассмотрим ò ò по некоторому прямоугольнику D' со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема: Пусть для ф-и f(x, y) в прямоугольной области D'={(x, y)|a£ x£ b; c£ y£ d'} $

ò ò f(x, y)d'xd'y.(1)

D'

Пусть, кроме того, для каждого х из отрезка [а; b] $ определенный интеграл

d'

I(x)=ò f(x, y)d'y.(2)

c b b d'

Тогда $ интеграл ò I(x)d'x = ò d'xò f(x, y)d'y, называемый

a a c

повторным, и справедливо равенство:

b d'

ò ò f(x, y)d'xd'y = ò d'xò f(x, y)d'y.(3)

D' a c

Замечание: Если в теореме х и у поменять ролями, то будет доказано существование повторного интеграла

d' d' b

ò I(y)d'y = ò d'yò f(x, y)d'x

c c a

и справедлива формула

d' b

ò ò f(x, y)d'xd'y = ò d'yò f(x, y)d'x. (8)

D' c a

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному.

Пример.

2сл. Теорема о переходе от ò ò к повторному для криволинейной обл-ти.

Теорема. Пусть ф-я z=f(x, y) определена в области G={(x, y)|a£ x£ b; y₁(x)£ y£ y₂(x)}, где у₁(х) и у₂(х) – непрерывные ф-и, у₁(х)£ у₂(х) для a£ x£ b.

Пусть, кроме того, $ двойной интеграл

ò ò f(x, y)d'xd'y и для каждого х из отрезка [a, b] существует

G

определенный интеграл

у₂(х)

ò f(x, y)d'y = I(x).

у₁(х)

Тогда $ повторный интеграл:

b b у₂(х)

ò I(x)d'x = ò d'xò f(x, y)d'y

a a у₁(х)

и справедливо равенство

a у₂(х)

ò ò f(x, y)d'xd'y = ò d'xò f(x, y)d'y (1)

G b у₁(х)

Замечание1.

Если в теореме х и у поменять ролями, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла:

d' d' x₂(y)

ò I(y)d'y = ò d'yò f(x, y)d'x

c c x₁(y)

и равенства:

d' x₂(y)

ò ò f(x, y)d'xd'y = ò d'xò f(x, y)d'y

G c x₁(y)

Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

Рассмотрим производную числовую последовательность а1, а2, ….аn, …

Формально из элементов этой последовательности составим сумму

а1+а2+а….+аn= ∑ a_n при 1→ ∞ (1)

Такую сумму принято называть числовым рядом или просто рядом а1, а2, …аn, … элементы члены ряда

An – общий член ряда

Sn= ∑ a_n при 1→ ∞ Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой n-переменных.

Числовой ряд (1) назыв. Сходящ, если посл-ть частичных сумм сходится к некоторому числу S, т.е. S= ∑ a_n при 1→ ∞

Т.к. число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда S_n образуют бесконечную посл-ть частичных сумм.

Если для данного ряда предел последовательности частичных сумм не сущетствует, то такой рад называется расходящимся.