Норма матриц и обусловленность

В курсе высшей математики вводится понятие линейного пространства M как множества, в котором определены операции сложения и умножения на действительные (или комплексные) числа, удовлетворяющие ряду аксиом. Известно, что любое конечномерное (n -мерное) линейное пространство эквивалентно пространству арифметических векторов

, (1.9)

в котором введены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число:

,

. (1.10)

Столбцы матрицы A порядка можно рассматривать как систему n арифметических векторов из Rⁿ.

Определение. Линейное пространство M называется нормированным, если каждому элементу поставлено в соответствие единственное неотрицательное число называемое нормой x, и удовлетворяющее свойствам:

1) , причем ;

2) для любого действительного числа ;

3) - для любых x, .

Чаще всего в Rⁿ используются нормы

,

.

Среди наиболее употребительными являются норма

, (1.11)

а также евклидова норма .

Обычно в задачах решения СЛАУ приходится одновременно оперировать и с векторами, и с матрицами, и с их произведениями. При этом, если в Rⁿ введена норма для векторов x, то норма должна быть определена и для матриц и эти две нормы (вектора и матрицы) должны быть согласованы между собой.

Определение. Матричная и векторные нормы в Rⁿ называются согласованными, если выполняется неравенство

для любой матрицы A и любого вектора x.

Наиболее простой способ добиться согласованности матричной нормы с нормой, уже введенной в Rⁿ, -принять следующее:

Определение. Матричной нормой матрицы A, подчиненной векторной норме , называется

.

Такая норма называется еще операторной нормой.

Пример. Подчиненные векторным нормам матричные нормы имеют для квадратной матрицы , соответственно вид

.

Всякая операторная норма, помимо свойств 1-3, обладает еще двумя важными свойствами:

1. для любых матриц A и B;

2. для единичной при любом n .

Важной характеристикой квадратной матрицы A является ее стандартное число обусловленности.

Определение. Стандартным числом обусловленности квадратной невырожденной матрицы A является положительное число, определяемое . Считают условно матрицы, у которых хорошо обусловленными. В противном случае, т.е. при - плохо обусловленными.

Пример. Найти стандартное число обусловленности матрицы

.

Находим обратную матрицу

.

Вычислим нормы и :

,

,

.

Матрица A - хорошо обусловленная.

На практике при решении СЛАУ (1.1) любым методом, в том числе и методом Гаусса, вычисления производятся с округлениями, т.е. неточно. Погрешности вычислений можно интерпретировать как возмущения правой части .

Выясним, как связаны возмущения решения с возмущением правой части . Имеем , . Вычитая из второго операторного уравнения первое, получим . Из последнего уравнения имеем , a затем . Разделим обе части последнего неравенства на

.

Замечая, что , имеем

.

Окончательно

. (1.12)

Таким образом, относительная погрешность решения СЛАУ не превосходит произведения числа обусловленности матрицы A на относительную погрешность части . Для плохо обусловленных матриц A относительная погрешность решения СЛАУ может стать как угодно большой.

Кроме возмущений правой части , могут возникнуть возмущения матрицы системы .

Если правая часть СЛАУ b задана точно, тогда вместо (1.12) имеем следующую оценку для относительной погрешности

. (1.13)

Полная оценка относительной погрешности имеет вид

. (1.14)

Таким образом, на точность решения СЛАУ (1.1) влияют преимущественно два фактора: число обусловленности матрицы A и эквивалентное возмущение , чем больше числа и , тем меньше точность решения.

Варианты заданий

№ варианта
n=4		4.00000 2.71667 2.10000 1.72143	8.08333 4.00000 3.05000 2.48095	8.16687 5.28333 4.00000 3.24047	10.25000 6.56667 4.95000 4.00000
	20.00000 21.00000 23.00000 26.00000	28.00000 29.00000 31.00000 34.00000	36.00000 37.00000 39.00000 42.00000	44.00000 45.00000 47.00000 50.00000
n=5		4.99999809 3.54999828 2.81428337 2.34642792 2.01745987	7.28333282 4.99999714 3.90714073 3.23095036 2.76309395	9.56666565 6.44999886 4.99999619 4.11547470 3.50872898	11.84999847 7.89999866 6.09285545 4.99999714 4.25436306
	30.00000000 31.00000000 33.00000000 36.00000000 40.00000000	40.00000000 41.00000000 43.00000000 46.00000000 50.00000000	50.00000000 51.00000000 53.00000000 56.00000000 60.00000000	60.00000000 61.00000000 63.00000000 66.00000000 70.00000000
n=6		5.99999714 4.40714073 3.56428337 3.01309395 2.61745930 2.31727791	8.44999886 5.99999619 4.78214073 4.00872803 3.46309280 3.05382156	10.89999866 7.59285545 5.99999619 5.00436306 4.30872822 3.79036522	13.34999752 9.18571281 7.21785545 5.99999619 5.15436268 4.52690983
	42.00000000 43.00000000 45.00000000 48.00000000 52.00000000 57.00000000	54.00000000 55.00000000 57.00000000 60.00000000 64.00000000 69.00000000	66.00000000 67.00000000 69.00000000 72.00000000 76.00000000 81.00000000	78.00000000 79.00000000 81.00000000 84.00000000 88.00000000 93.00000000
№ варианта
n=4		3.99999905 2.71666527 2.09999847 1.72142792	6.08333302 3.99999809 3.04999828 2.48095036	8.16666603 5.28333282 3.99999714 3.24047470	10.24999905 6.5666565 4.94999886 3.99999714
	20.00000000 21.00000000 23.00000000 26.00000000	28.00000000 29.00000000 31.00000000 34.00000000	36.00000000 37.00000000 39.00000000 42.00000000	44.00000000 45.00000000 47.00000000 50.00000000
n=5		4.99999809 3.54999828 2.81428337 2.34642792 2.01745987	7.28333282 4.99999714 3.90714073 3.23095036 2.76309395	9.56666565 6.44999886 4.99999619 4.11547470 3.50872898	11.84999847 7.89999866 6.09285545 4.99999714 4.25436306
	30.00000000 31.00000000 33.00000000 36.00000000 40.00000000	40.00000000 41.00000000 43.00000000 46.00000000 50.00000000	50.00000000 51.00000000 53.00000000 56.00000000 60.00000000	60.00000000 61.00000000 63.00000000 66.00000000 70.00000000
n=6		5.99999714 4.40714073 3.56428337 3.01309395 2.61745930 2.31727791	8.44999886 5.99999619 4.78214073 4.00872803 3.46309280 3.05382156	10.89999866 7.59285545 5.99999619 5.00436306 4.30872822 3.79036522	13.34999752 9.18571281 7.21785545 5.99999619 5.15436268 4.52690983
	30.00000000 31.00000000 33.00000000 48.00000000 52.00000000 57.00000000	40.00000000 41.00000000 43.00000000 60.00000000 64.00000000 69.00000000	50.00000000 51.00000000 53.00000000 72.00000000 76.00000000 81.00000000	60.00000000 61.00000000 63.00000000 84.00000000 88.00000000 93.00000000