Гипербола

Окружность

Простейшей кривой является окружность. Ее уравнение имеет вид:

Это уравнение второй степени относительно х и у. Следовательно, окружность есть кривая второго порядка.

Пример 37.
Написать уравнение окружности радиуса R = 6 с центром в точке N(2, -3).

Решение. После подстановки значений а = 2, b = -3, R = 6 в уравнение окружности получаем

(x-2)²+(y+3)²=36.

Пример 38.
Найти координаты центра и радиус окружности x²+y²-6x+10y-15=0.

Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем

Отсюда находим а = 3, b= -5, R = 7.

Эллипс

Определение.
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними 2c, а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокуса, через 2a (по условию 2a > 2c).

Построим декартову систему координат так, чтобы фокусы F₁ и F₂ оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂. В выбранной таким образом системе координат фокусы имеют координаты: левый фокус F₁(-c, 0) и правый F₂ (c, 0).

Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. По определению сумма расстояний от этой точки до фокусов равна 2a. Исходя из этого определения и введя обозначение: a²- c²= b², получим уравнение эллипса:

Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Пример 39.
Определить вид и расположение кривой

Решение. Дополним члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов:

Отсюда получаем

Следовательно, кривая, заданная исходным уравнением, представляет собой эллипс с полуосями

Центр эллипса находится в точке .

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Расстояние между фокусами F₁ и F₂ обозначим 2с, а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов 2а (0< 2a < 2c). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка F₁F₂. Фокусы в этой системе координат имеют координаты F₁(- c, 0) и F₂(c, 0). Основываясь на определение эллипса и вводя обозначение c²-a²=b², получим уравнение гиперболы:

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы.

Отношение длины фокальной оси к длине действительной оси
называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

Пример40.
Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы
9x²-16y²=144.

Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду (разделив его на 144):

Отсюда следует, что a²=16, b²=9. Следовательно, a=4 -действительная полуось, b=3 - мнимая полуось. Тогда Значит, фокусы имеют координаты F₁(-5, 0), F₂(5, 0). Находим эксцентриситет
Уравнения асимптот имеют вид , а уравнения директрис .

Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Фокус имеет координаты (р/2, 0), а уравнение директрисы имеет вид x=p/2.

Тогда уравнение параболы запишется в виде:

y²=2px

Данное уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Пример 41.
Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y=x².

Решение.
Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид: x²=2px. Сравнивая это уравнение с заданным, получим 2p=1, отсюда p=1/2. Следовательно, фокус параболы имеет координаты (0, 1/4), а уравнение
директрисы есть y=-1/4