Решение игры 2х2 в смешанных стратегиях аналитическим методом

Рассмотрим игру с размерностью платежной матрицы 2 х 2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответст­вующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий и

Для того чтобы их получить, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии R_A*, то его средний выигрыш будет равен цене игры V, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В.

Для игры 2 x 2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) - случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выиг­рыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен V и для l-й, и для 2-й стратегии противника.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

,

а игрок В - чистую страте­гию В₁ (это соответствует l-му столбцу платежной матрицы Н ), равен цене игры V:

Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В₂, _{т .е}.

Учитывая, что , получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии R_A^* и цены игры V:

Решая эту систему уравнений, получим аналитические выражения для вычисления вероятностей оптимальной смешанной стратегии

и цену игры

.

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S_B^*- оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (R₁ или R₂ ) средний проигрыш игрока В равен цене игры V, т.е.

Тогда вероятности применения оптимальной стратегии S_B(q₁^*, q₂^*)определяется по формулам:

Пример 3. Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, имеющей следующее вербальное описание.

Игра «поиск». Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II). Игрок В ищет игрока А. Если найдет, то получает штраф 1 ден.ед, в противном случае - платит игроку В 1 ден. ед. Необходимо получить решение игры.

Решение. Определим стратегии игрока A:

- стратегия A₁ – игрок A прячется в убежище I;

- стратегия A₂ – игрок A прячется в убежище II.

Определим стратегии игрока В:

- стратегия В₁ – игрок В ищет игрока А в убежище I;

- стратегия В₂ – игрок В ищет игрока А в убежище II;

Если игрок А принял стратегию А₁ (прячется в убежище I) и игрок В принял стратегию В₁ –(отыскивает игрока А в убежище I), то игрок В обнаруживает игрока А и игрок А платит штраф игроку В 1 д.. ед, т.е. а₁₁ = -1. Аналогично получается а₂₂ = - 1. Очевидно, что стратегии (А_1, В₂) и (А₂, В₁) дают игроку А выигрыш в 1 д. ед, т.е. а₁₂ = а₂₁ = 1.

Получаем платежную матрицу вида .

Вычислим нижнюю α и верхнюю β цену игры:

α = - 1; β = 1.

Вывод: игра не имеет седловой точки, решения в чистых стратегиях нет и его необходимо вычислять в смешанных стратегиях.

Используя полученные формулы, произведем расчеты вероятностей, использования стратегий:

=

Подставляя значения коэффициентов a_ij из платежной матрицы в остальные формулы, получим:

p₂^* = q₁^* = q₂^* = ½. V = 0.

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы применять свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом средний выигрыш (средний проигрыш) будут равны 0.

Задание 2. В соответствии с номером фамилии в журнале решить игру с заданной платежной матрицей аналитическим методом. Дать интерпретацию полученных результатов.

Вариант 1. H = . Вариант 2. H =

Вариант 3. H = . Вариант 4. H = .

Вариант 5. H = . Вариант 6. H = .

Вариант 7. H = . Вариант 8. H = .

Вариант 9. H = Вариант 10. H = .

Вариант 11. H = . Вариант 12. H = .

Вариант 13. H = . Вариант 14. H = .

Вариант 15. H = .