Решение. 1. Доминирующих строк и столбцов нет

1. Доминирующих строк и столбцов нет

2. Нижняя цена игры: α ₁ = 2; α ₂ = 1; α = 2.

3. Верхняя цена игры: β ₁= 5; β ₂= 7; β ₃= 3; β = 3.

Вывод: . Седловой точки нет. Решения в чистых стратегиях не существует. В соответствии с теоремой фон Неймана будем определять решение в смешанных стратегиях, при этом, α ≤ V ≤ β; 2 ≤ V ≤ 3.

4. Выбор метода решения игры. Игра имеет размерность 2 х 3, следовательно, ее целесообразно решать графическим методом.

5. Вычисляем вероятности применения стратегий R1 и R2 игроком А в соответствии с принципом максимина.

5.1. Пусть игрок В применяет свою стратегию S₁. Минимальный средний выигрыш игрока А в этом случае вычисляется по формуле

5.2. Пусть игрок В применяет свою стратегию S₂. Минимальный средний выигрыш игрока А в этом случае вычисляется по формуле

5.3. Пусть игрок В применяет свою стратегию S₃. Минимальный средний выигрыш игрока А в этом случае вычисляется по формуле

5.4 Изобразим график решения задачи (рисунок 5.2)

Рисунок 5.2 – График решения задачи 3

Из уравнения 1: при р₁ = 0 → V = 2; при р₁ = 1 → V = 5. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 2 (точка S₁), на оси 2 – точку V = 5(точка S₁₁),. Проведем прямую линию через эти две точки.

Из уравнения 2: при р₁ = 0 → V = 1; при р₁ = 1 → V = 5. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 1 (точка S₂), на оси 2 – точку V = 7(точка S₂₂),. Проведем прямую линию через эти две точки.

Из уравнения 3: при р₁ = 0 → V = 1; при р₁ = 1 → V = 0. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 1 (точка S₃), на оси 2 – точку V = 0(точка S₃₃),. Проведем прямую линию через эти две точки.

Приравняем уравнения 1 и 2

.

Откуда р₁ = 1/3; p₂ = 1- p₁ = 2/3.

Цена игры v = 3р₁ + 2 = 3 1/3 + 2 = 3.

5.5. Интерпретация результатов. Таким образом, игрок А должен чередовать стратегии R₁ и R₂ так, чтобы их частость их использования составила: для стратегии R₁ – 1/3, для стратегии R₂ – 2/3, т.е., если игра повторяется 9 раз, то игрок А должен 3 раза использовать стратегию R₁ и 6 раз - стратегию R₂. При этом игрок А в среднем получит выигрыш равный цене игры, т.е V = 3.

Получив решение за игрока А, можно получить решение и за игрока В. Так как в решении игры за игрока А участвуют только стратегии игрока A - R₁ и R₂ , следовательно вероятность применения игроком A стратегии R₃ – р₃ = 0, запишем выражения для вычисления средних максимальных проигрышей игрока В при применении этих двух стратегий и соответственно применения игроком А стратегий R₁ и R₂.

Приравняем эти два уравнения:

= .

Откуда q₁ = 2 > 1, т.е. данная задача при этих исходных данных решения за игрока В не имеет..