Решение. 1. Анализ графа состояний и переходов

1. Анализ графа состояний и переходов.

Результаты анализа:

1) интенсивности переходов – величины постоянные;

2) число состояний системы – конечно;

3) из любого состояния системы можно за конечное число шагов перейти в в любое другое состояние.

Вывод: система является эргодической, необходимые и достаточные условия для существовании финальных вероятностей в системе выполнены.

2. Используя формальное правило, запишем систему линейных алгебраических уравнений для финальных вероятностей

(1)

3. Анализ системы уравнений

В системе уравнений (1) четыре уравнения и четыре неизвестных: Р₀, Р₁, Р₂, Р₃. Так как в системе все уравнения однородны (не имеют свободных членов), то все неизвестные могут быть вычислены только с точностью до произвольного множителя. Поэтому для решения такой системы необходимо воспользоваться следующим приемом:

- включим в систему уравнений нормировочное уравнение

: (2)

- удалим из системы (1) одно (например, четвертое) уравнение (оно вытекает как следствие из других).

4. Подставив числовые значения, получим новую систему уравнений

(3)

5. Решение системы уравнений (3)

P₀ = 0, 38; P₁ = 0, 22; P₂ = 0, 23; P₃ = 0, 17.

Проверка: 0, 38 + 0, 22 + 0, 23 + 0, 17 = 1.0.

6. Интерпретация результатов. В предельном стационарном режиме система S будет в среднем 38% времени находиться в состоянии S₀, 22% времени – в состоянии S₁ , 23% времени – состоянии S₂ и 17% времени в состоянии S₃.

Если известно, например, что система, находясь в состоянии S₀ – приносит прибыль 10 усл.ед,; в состоянии S₁ – 8 усл.ед, в состоянии S₂ – 4 усл.ед., а в состоянии S₃ прибыли не приносит, то средняя прибыль, приносимая системой в единицу времени будет вычисляться по формуле

Далее можно утверждать о возможности оптимизации системы с целью увеличения прибыли. Для этого необходимо, чтобы система как можно меньше времени пребывала в состоянии S₃ и как можно больше – в состоянии S₀ .