Процесс гибели и размножения

В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов - так называе­мый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математиче­ской моделью изменения численности биологических популяций.

Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на рисунке 2.

Рисунок 1- Граф состояний и переходов процесса гибели и размножения

Особенность этого графа состоит в том, что два крайних события имеют связи (переходы) только с двумя соседними событиями, а все остальные непосредственно связаны с соседними событиями слева и справа.

Важность такого процесса заключается в том, что именно такой процесс на практике встречается чаще всего, а для него характерно то, что можно заранее вывести формулы для расчета вероятностей состояний и даже в общем виде.

Будем полагать, что все потоки, переводящие систему из одного состояния в другое – простейшие.

Из анализа графа следует, что процесс, протекающий в такой системе, является эргодическим (из каждого состояния можно за конечное число шагов перейти в любое другое).

Пользуясь общими правилами составим алгебраические уравнения для всех состояний системы.

Для состояния S₀

(1)

Для состояния S₁

(2)

Преобразуем уравнение (2). Раскроем скобки

.

С учетом (1) получим

(3)

Далее совершенно аналогично получим

. (4)

В общем виде

, (5)

В результате получаем систему алгебраических уравнений

,

_,

……………..

(6)

……………..

.

С учетом уравнения нормировки

решим систему уравнений (6).

Из уравнения (1) получим

. (7)

Из уравнения (2) в записи (3) с подстановкой (7) получим

(8)

Из уравнения (3) в записи (4) с подстановкой (7, 8) получим

(9)

Из анализа выражений (7, 8, 9) следует:

1) в этих формулах в числителе записано произведение интенсивностей переходов слева -направо (от начального состояния до текущего), а в знаменателе – справа – налево (от текущего до начального);

2) вероятности всех состояний выражены через одну, а именно Р₀.

Для любого состояния k (k = ) вероятность нахождения системы в этом состоянии

. (10)

Подставим выражения для вычисления вероятностей состояний в уравнение нормировки, вынесем за скобки Р₀ и получим

.

Откуда выражение для вычисления Р₀ принимает вид

. (11)

Если процесс, протекающий в СМО является стационарным, то все интенсивности λ и μ равны между собой и полученные формулы принимают следующий вид

., (12)

(13)

.....................

. (14)

(15).

Введенный коэффициент ρ – приведенная интенсивность потока заявок. Его смысл – среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки.

Полученные выражения позволяют ввести еще две очень важные для любой (одноканальной и многоканальной, марковской и немарковской, с ограниченной или неограниченной очередью) СМО.

Первая формула Литтла. Среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок

. (16)

Вторая формула Литтла. Среднее время пребывания заявки в очереди равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок

. (17)