Решение. S0 – в систему не поступило ни одной заявки (система простаивает);

1. Формализуем задачу.

S₀ – в систему не поступило ни одной заявки (система простаивает);

S₁ – в систему поступила одна заявка (один канал обслуживания занят, остальные простаивают);

S₂ – в систему поступила вторая заявка, первая заявка продолжает обслуживаться (два канала обслуживания заняты, остальные простаивают);

............................................................

S_k – в систему поступило k заявок (k каналов обслуживания заняты, остальные простаивают);

............................................................

S_n – в систему поступило n заявок (n каналов обслуживания заняты, очередная поступившая в систему заявка получает отказ в обслуживании.

2. Построим граф состояний и переходов. Процесс, протекающий в системе, соответствует процессу гибели и размножения (рисунок 2).

		λ		λ		λ		λ		λ

Рисунок 1- Граф состояний и переходов n канальной СМО

Разметим граф. Система переходит из состояния i-1 в состояние i при поступлении в систему очередной заявки. Интенсивности заявок одинаковы (поток заявок – простейший – процесс стационарный), поэтому проставим над каждой стрелкой, ведущей из состояния i-1 в состояние i одинаковую интенсивность λ.

Разметим интенсивности нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁ (занят один канал обслуживания). Он производит μ обслуживаний в единицу времени. Запишем под стрелкой S₁ → S₀ интенсивность μ.

Пусть теперь система находится в состоянии S₂ (одновременно заняты и работают два канала обслуживания)_. Для перехода системы из состояния S₂ в состояние S₁ , необходимо, чтобы закончил обслуживание, хотя бы один из каналов (первый или второй). Оба вместе не могут – поток обслуживании простейший (выполняется свойство ординарности). Следовательно, суммарная интенсивность обслуживания равна 2μ. Запишем это значение под стрелкой S₂ → S₁. По аналогии суммарный поток обслуживания создаваемый тремя каналами обслуживания равен 3 μ, k – каналами - k μ, n – каналами - n μ. Запишем эти значения под соответствующими стрелками.

В общем случае:

- по формуле (12) : (18)

- по формуле (13) ; (19)

- по формуле (9) . (20)

- по формуле (14) . (21)

Для состояния n получим

(22)

По аналогии с формулой (15) получаем

(23)

Формулы (18)…(23) называются формулами Эрланга.

Получив выражения для вычисления финальных вероятностей нетрудно получить формулы для определения основных характеристик СМО. Так например:

- вероятность отказа в обслуживании (вероятность того, что в момент поступления очередной заявки все каналы обслуживания оказались занятыми)

;

- относительная пропускная способность (вероятность того, что заявка обязательно будет обслужена)

;

- абсолютная пропускная способность вычисляется по формуле

;

- среднее число занятых каналов

.

Эту же характеристику можно получить, используя следующую формулу

Задание 5 (изучить). Для многоканальных СМО финальные вероятности существуют только в том случае, если выполняется условие

.

Задача 3. В минимаркет поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 0, 65 покупателей в минуту. Их обслуживают три контролера–кассира. Среднее время обслуживания одного покупателя одним кассиром составляет = 4 минуты. Длина очереди к кассирам ограничена 3-мя покупателями. Покупатели, обнаружив, что в очереди находятся три человека, уходят в соседний минимаркет. Входной поток покупателей – простейший, время обслуживания распределено по показательному закону.

Требуется: 1) определить вероятности состояний СМО;

2) рассчитать вероятность отказа в обслуживании;

3) оценить относительную и абсолютную пропускные способности системы.

Исходные данные:

λ = 0, 65 покупателнй в минуту; = 4 минуты; число каналов обработки n = 3: число мест в очереди m = 3.