Классификация поверхностей

Основой классификации поверхностей служат их определители или геометрические особенности, связанные с кинематическим способом их образования. Поверхности принадлежат к одному классу, если они имеют единую структурную форму определителя и одинаковое значение его геометрической части.

Поверхности разделяются на два класса (линейчатые и нелинейчатые поверхности) и три подкласса (поверхности параллельного переноса, поверхности вращения и винтовые поверхности) (см. рис. 132).

К нелинейчатым относятся поверхности с криволинейной образующей. В свою очередь, нелинейчатые поверхности делятся на две группы: с образующей переменного вида и с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида могут быть описаны определителем типа:

D = (a, m)[A_a, A_m],

где а – образующая;

m – направляющая;

А_а – закон изменения формы образующей;

А_m – закон перемещения образующей по направляющей.

Эта группа включает поверхности общего вида, каналовые и циклические.

Поверхность общего вида (рис. 133) образуется перемещением произвольной криволинейной образующей (а) по произвольной криволинейной направляющей m.

В процессе движения образующая а может менять свою форму по некоторому закону. Каналовая поверхность образуется непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве, а площади этих сечений монотонно изменяются в процессе их перемещения по направляющей (рис. 134).

При образовании каналовых поверхностей можно наложить дополнительные условия, например, чтобы образующие плоские сечения были параллельны какой-либо плоскости, так называемой плоскости параллелизма, или были перпендикулярны к направляющей m. При этом в первом случае мы получим каналовые поверхности с плоскостью параллелизма, а во втором – нормальные (прямые) каналовые поверхности.

		an

Рис. 133 Рис. 134

Циклическая поверхность (рис. 135) образуется при помощи окружности а, центр которой перемещается по криволинейной направляющей m. При этом диаметр окружности монотонно изменяется.

Рис. 135 Рис. 136

Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида могут быть описаны определителем типа

D = (a, m)[A_m]

Эта группа включает поверхности общего вида и трубчатые.

Рис. 137 определяется формой и положением направляющей m и

дополнительными условиями.

Трубчатая поверхность может рассматриваться как частный случай циклической и каналовой поверхностей. Трубчатая поверхность образуется движением окружности а постоянного радиуса по криволинейной направляющей m, при этом плоскость окружности должна все время оставаться перпендикулярной к направляющей (рис. 137).

Трубчатые поверхности получили широкое распространение в строительстве, технике и др.

К линейчатым относятся поверхности с прямолинейной образующей. Класс линейчатых поверхностей включает три группы: поверхности с тремя, с двумя и с одной направляющей. Группа линейчатых поверхностей с тремя направляющими описывается определителем типа

D = (m, n, l)

и включает косой цилиндр, дважды косые цилиндроид и коноид и однополосный гиперболоид.

Поверхность косого цилиндра с тремя направляющими (поверхность общего вида) образуется при движении прямолинейной образующей (а) по трем криволинейным направляющим m, n, l (см. рис. 138).

Дважды косой цилиндроид (рис. 139) образуется в том случае, когда две из трех направляющих – кривые, а третья – прямая линия.

Рис. 138 Рис. 139

Если все три направляющие расположены в параллельных плоскостях, то образуется частный случай дважды косого цилиндроида – поверхность косого клина (рис. 140), которая используется при конструировании крыла летательного аппарата.

Рис. 140 Рис. 141

Поверхность дважды косого коноида (рис. 142) образуется в случае, когда одна из трех направляющих – кривая, а две других – прямые линии.

N M a m l L n Рис. 142

Поверхность однополостного гиперболоида может быть получена при движении прямолинейной образующей (а) по трем скрещивающимся прямым, не параллельным одной плоскости (рис. 143).

Однополостный гиперболоид является одной из поверхностей, обладающих замечательным свойством. Если образующую (а) зафиксировать в положении а¹, а², а³, т.е. взять три таких образующих и их принять за направляющие, а направляющие m, n, l – за образующие, то при этом получим ту же поверхность. Иными словами, в однополостном гиперболоиде имеются два семейства прямолинейных образующих, причем образующие одного семейства не пересекаются между собой, но каждая из образующих одного семейства пересекает все образующие другого семейства.

В частном случае, если все три направляющие параллельны некоторой плоскости, то получается поверхность, которая называется гиперболическим параболоидом (рис. 144).

Это название поверхность получила в связи с тем, что при сечении плоскостями, параллельными П₂и П₃, образуется парабола, а при сечении плоскостями, параллельными плоскости П₁, – гипербола.

Поверхность гиперболического параболоида обладает тем замечательным свойством, что ее образующие параллельны некоторой плоскости. В частном случае эти плоскости параллелизма могут быть взаимно перпендикулярны. В этом случае гиперболический параболоид получил название прямого. Если плоскости параллелизма составляют угол, отличный от прямого, то гиперболический параболоид называют наклонным.

Рис. 143 Рис. 144

Линейчатые поверхности с двумя направляющими могут быть однозначно образованы только при наложении некоторых дополнительных условий, в частности, при использовании некоторой плоскости.

Если образующей (а) задать закон перемещения, чтобы она, скользя по направляющим m и n, все время сохраняла постоянный угол j с некоторой плоскостью D, называемой направляющей плоскостью, то мы получим группу так называемых линейчатых поверхностей с двумя направляющими и направляющей плоскостью.

При этом плоскость D заменяет ту третью направляющую l, которая образуется множеством точек пересечения движущейся прямолинейной образующей (а) с плоскостью D. В связи с этим поверхности данной группы могут быть описаны определителем вида

D = (m, n) [A_D],

где A_D – алгебраическая часть определителя, содержащая указание, что прямолинейная образующая в процессе движения все время сохраняет постоянный угол j с направляющей плоскостью D.

Эта группа включает косые цилиндроид и коноид и дважды косую плоскость.

Если направляющая плоскость D составляет с образующей а угол в 0⁰, т.е. стала плоскостью параллелизма, мы получим линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма или так называемые поверхности Каталана. В группу поверхностей Каталана входят прямые цилиндроид, коноид и гиперболический параболоид (косая плоскость).

Прямой цилиндроид (рис. 145) образуется в том случае, если в качестве направляющих m и n принять гладкие кривые линии, причем одна из них (в данном случае n) принадлежит плоскости, перпендикулярной плоскости параллелизма D.

Рис. 145 Рис. 146

Прямой коноид (рис.146) отличается от прямого цилиндроида только тем, что одна из его направляющих – прямая.

Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхностей устоев мостовых опор.

Прямой гиперболический параболоид (косая плоскость) может быть образован скольжением образующей прямой (а) по двум скрещивающимся прямым направляющим m и n, причем образующая (а) все время остается параллельной плоскости параллелизма D (рис. 147).

В технике гиперболический параболоид часто называют косой плоскостью. Косая плоскость находит широкое применение в инженерно-строительной практике при формировании поверхностей откосов насыпей, насыпей автомобильных и железных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения откосов, имеющих различные углы наклона.

Линейчатые поверхности с одной направляющей также могут быть однозначно образованы только при наложении некоторых дополнительных условий, причем эти условия не являются общими для всей группы поверхностей.

Общий вид определителя для всех поверхностей этой группы остается постоянным, однако его алгебраическая часть в каждом конкретном случае имеет свой смысл:

D = (m) [A_m]

Группа линейчатых поверхностей с одной направляющей включает поверхности с ребром возврата (торсы), конические и цилиндрические поверхности.

Поверхность с ребром возврата (торс) (рис. 148) образуется непрерывным перемещением прямолинейной образующей а, касательной к некоторой пространственной криволинейной направляющей m.

Рис. 147 Рис. 148

Коническая поверхность (рис. 149) образуется непрерывным перемещением прямолинейной образующей а вдоль некоторой пространственной криволинейной направляющей m, проходящей через одну и ту же точку S, называемую вершиной. Коническая поверхность имеет две полости. Часто под конической поверхностью подразумевают одну из этих полостей.

Цилиндрическая поверхность образуется в том случае, когда прямолинейная образующая а перемещается по криволинейной направляющей m, все время оставаясь параллельной некоторой прямой.

Нетрудно видеть, что все линейчатые поверхности с одной направляющей вырождаются в плоскость, когда направляющая m является прямой (рис. 150).

Поверхности параллельного переноса образуются поступательным перемещением плоской образующей (а), одна из точек которой перемещается по криволинейной направляющей m (рис. 151). Если за образующую взять линию m, а за направляющую кривую а, то мы получим ту же поверхность параллельного переноса.

Поверхность вращения (рис. 152) можно получить, если некоторую образующую (а) вращать вокруг неподвижной оси m (при этом в качестве образующей (а) может быть принята прямая линия, плоская или пространственная кривая).

Определитель поверхности вращения будет иметь вид:

D = (a, m) [A]

Алгоритмическая часть определителя содержит условие, что образующая (а) вращается вокруг оси m. В процессе образования поверхности каждая точка образующей а (A, B, C, D, E) при вращении вокруг оси m описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшая и наименьшая из этих окружностей получили специальные названия – экватор и горло (шейка).

Рис. 149 Рис. 150

Рис. 151 Рис. 152

Плоскости, проходящие через ось вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, – меридианами. Плоскость, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют главной меридиональной плоскостью, а линию ее пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом.

К поверхности вращения относятся: конус вращения, цилиндр вращения, сфера, тор, глобоид, эллипсоид вращения, параболоид вращения, однополостный, двуполостный гиперболоид вращения.

Винтовые поверхности образуются в результате винтового перемещения образующей а.

Винтовые перемещения являются совокупностью двух движений образующей – поступательного перемещения вдоль некоторой оси и вращательного движения вокруг той же оси.

Общий вид определителя винтовых поверхностей следующий:

D = (a, m) [A]

Алгоритмическая часть определителя содержит дополнительные указания о характере винтового перемещения образующей а.

Основными характеристиками винтовой поверхности являются ее диаметр и шаг. Диаметром винтовой поверхности принято считать диаметр описанного цилиндра. Шаг поверхности измеряется величиной продольного перемещения какой-либо точки образующей при повороте ее вокруг оси на один полный оборот.

Если величина шага не меняется, то такие поверхности называют винтовыми поверхностями с постоянным шагом, в противном случае – с переменным шагом.

Если в качестве образующей принять кривую, то мы получим винтовую поверхность с криволинейной образующей (рис. 153), если прямую - винтовую поверхность с прямолинейной образующей.

Винтовые поверхности с прямолинейной образующей и постоянным шагом получили название геликоидов.

Рис. 153 Рис. 154

Если образующая составляет с осью прямой угол, то такой геликоид называют прямым (рис. 154), в противном случае – косым или наклонным. Если образующая пересекается с осью, то геликоид называют закрытым, если скрещивается – открытым.

Винты, шнеки, сверла, пружины поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочих органов судовых и воздушных винтов и многие другие технические устройства выполнены с использованием винтовых поверхностей.