Метод прогноза и коррекции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(1.1)

тогда как:

А = (1.2)

где А заданная матрица размером N x N.

- вектор с N координатами, который подлежит определению;

N – произвольное целое число;

- заданные вектора правых частей с N координатами.

С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка, необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов. Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом, на заданных временных промежутках..

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Метод прогноза и коррекции

Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши, а именно к численным решениям многошаговыми методами.

Рассмотрим задачу Коши:

, (2.1.1)

Подставим в (2.1.1) точное решение y(x), и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим:

(2.1.2)

где в последнем член предполагаем, что p(x) полином, аппроксимирующий f(x, y(x)). Чтобы построить этот полином, предположим, что - приближения к решению в точках . Будем считать для начала, что узлы Xi расположены равномерно с шагом h. тогда fi = f(xi, yi), (i=k, k-1, k-2, …, k-N) есть приближения к f (x, y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi, fi),

(i =k, k-1, k-2, …, k-N). Таким образом, P – полином степени N, удовлетворяющий условиям P(xi)=fi, (i = k, k-1, k-2, …, k-N). В принципе, можем проинтегрировать этот полином явно, что ведет к следующему методу:

(2.1.3)

В простейшем случае, когда N=0, полином P есть константа, равная fk, и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера:

(2.1.4)

Если N=1, то P есть линейная функция, проходящая через точки

(xk-1, fk-1) и (xk, fk), т.е.

(2.1.5)

интегрируя этот полином от Xk до Xk+1, получим следующий метод:

(2.1.6)

который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1. Аналогично, если N=2, то P - есть кубический интерполяционный полином, а соответствующий метод определяется формулой:

(2.1.7)

Отметим, что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка, (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка.

Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках. Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных. Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера, который имеет вид:

Таким образом, подставляя начальные условия, мы находим вторую точку. Следует заметить, что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов, что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции.

Ввиду того, что стартовые методы имеют более низкий порядок, в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени. В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя. Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом.

Рассуждая также, как для метода Адамса-Башфорта, который излагается в работах: [1], [2], [3], мы мы приходим к формулам:

Прогноз:

(2.1.8)

Коррекция:

(2.1.9)

где h - шаг интегрирования, изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге:

,

где в свою очередь - малое конкретное значение, при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N а - малое конкретное значение, при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/N, где N - некоторое целое число больше единицы.

Оптимально, для вычисления новой точки, с помощью метода прогноза и коррекции, используется формула:

(2.1.10)

Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции, для стартования метода Адамса-Башфорта. Преимущества данного метода заключаются: в его высокой точности, авто подборе шага, что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта, и делает его оптимальным для задач такого рода.

Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома, мы можем использовать и точки Xk+1, Xk+2, …. Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1, Xk, …, Xk-N

и построения интерполяционного полинома степени N+1, удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi, (I=k+1, k, …, k-N). При этом возникает класс методов, известных как методы Адамса-Моултона. Если N=0, то p – линейная функция, проходящая через точки (Xk, fk) и (Xk+1, f k+1), и соответствующий метод:

(2.1.11)

является методом Адаиса-Моултона [2], именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе. Если N=2, то p – кубический полином, построенный по точкам и соответствующий метод:

(2.1.12)

является методом Адамса-Моултона четвертого порядка. В силу того, что по сути fk+1 – неизвестная, то методы Адамса-Моултона (2.1.11), (2.1.12) называют неявными. В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными.

Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7), и неявной формулой (2.1.12), используя их совместно, мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка:

(2.1.13)

Стоит обратить внимание, что в целом этод метод является явным. Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение , являющееся “прогнозом”. Затем используется для вычисления приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона. Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение, называемое формулой Адамса-Башфорта.

Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

где

A =

Заданная матрица размером NxN; - вектор с N координатами, который подлежит определению. В связи с тем, что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A, на каждом шаге по времени, необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей, для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса, который описан в разделе 2.2.

Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами: методом Эйлера на первом шаге, трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага, на малом промежутке времени и с малым начальным шагом, для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13), [2], [3].