Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Постановка задачи и метод решения






 

Решить дифференциальное уравнение у/=f(x, y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2, …, уn, что уi=F(xi)(i=1, 2, …, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/=f(x, y) (1)

с начальным условием

x=x0, y(x0)=y0 (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2, …, хn, где xi=x0+ih (i=0, 1, …, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)»yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0, 1, 2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М00, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0, 1, 2, …); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Мi.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|£ a, |y-y0|£ b}удовлетворяет условиям:


|f(x, y1)- f(x, y2)| £ N|y1-y2| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

 

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| £ hM/2N[(1+hN)n-1], (3)

 

где у(хn)-значение точного решения уравнения(1) при х=хn, а уn- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагомh/2. Погрешность более точного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)|»|yn*-yn|.

 

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлера более точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x, y)

с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n

равных частей. На малом участке [x0, x0+h]

у интегральную кривую заменим прямой

Nk/ y=y(x) линией. Получаем точку Мкк, ук).

МкМк/

yk+1

yk

хкхк1/2xk+h=xk1х

 

 

Через Мк проводим касательную: у=ук=f(xk, yk)(x-xk).

Делим отрезок (хк, хк1) пополам:

xNk/=xk+h/2=xk+1/2

yNk/=yk+f(xk, yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=α k

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом α к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк/. Тогда:

ук+1ккh

xk+1=xk+h

(4) α k=f(xk+h/2, yk+f(xk, Yk)h/2)

yk=yk-1+f(xk-1, yk-1)h

(4)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

 

 

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/, y, x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, выполняется замена:

y/=z

z/=f(x, y, z)

Тем самым преобразуются начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.


РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

 

Приведем расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y/=2x-y

Требуется найти решение на отрезке [0, 1] c шагом h=(1-0)/5=0, 2

Начальные условия: у0=1;

Пользуясь рекурентными формулами (4), находим:

1). x1=0, 2; х1/2=0, 1; y(x1)=y(x0)+α 0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0, y0)h/2;

f(x0, y0)=2*0-1=-1

y(x1/2)=1-1*0, 1=0, 9

α 0=2*0, 1-0, 9=-0, 7

y1=1-0, 1*0, 2= 0, 86

 

2). y(x2)=y(x1)+α 1h; x2=0, 2+0, 2=0, 4; x1+1/2=x1+h/2=0, 2+0, 1=0, 3

y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1, y(x1))h/2

f(x1, y1)=2*0, 2-0, 86=-0, 46

y(x1+1/2)=0, 86-0, 46*0, 1=0, 814

α 1=2*0, 3-0, 814=-0, 214

y2=0, 86-0, 214*0, 2= 0, 8172

 

3). x3=0, 4+0, 2=0, 6; x2+1/2=x2+h/2=0, 4+0, 1=0, 5

f(x2, y2)=2*0, 4-0, 8172=-0, 0172

y2+1/2=0, 8172-0, 0172*0, 1=0, 81548

α 2=2*0, 5-0, 81548=0, 18452

y3=0, 8172+0, 18452*0, 2= 0, 854104

 

4).x4=0, 8; x3+1/2=x3+h/2=0, 6+0, 1=0, 7

f(x3, y3)=2*0, 6-0, 854104=0, 345896

y3+1/2=0, 854104+0, 345896*0, 1=0, 8886936

α 3=2*0, 7-0, 89=0, 5113064

y4=0, 854104+0, 5113064*0, 2= 0, 95636528

5).x5=1; x4+1/2=0, 8+0, 1=0, 9

f(x4, y4)=2*0, 8-0, 956=0, 64363472

y4+1/2=0, 956+0, 643*0, 1=1, 020728752;

α 4=2*0, 9-1, 02=0, 779271248

y5=0, 956+0, 7792*0, 2= 1, 11221953

2. Дано уравнение второго порядка:

y//=2x-y+y/

Находим решение на том же отрезке [0, 1] c шагом h=0, 2;

Замена: y/=z

z/=2x-y+z

Начальные условия: у0=1

z0=1

 

1).x1=0, 2; x1/2=0, 1

y(z1)=y(z0)+α 0h z(x1, y1)=z(x0, y0)+β 0h

y(z1/2)=y(z0)+f(z0, y0)h/2 z(x1/2, y1/2)=z(x0, y0)+f(x0, y0, z0)h/2

f(z0, y0)=f10=1 f(x0, y0, z0)=f20=2*0-1+1=0

y1/2=1+1*0, 1=1, 1 z1/2=1+0*0, 1=1

α 0=z0=1 β 0=2*0, 1-1, 1+1=0, 1

y1=1+0, 2*1= 1, 2 z1=1+0, 2*0, 1= 1, 02

2).x2+0, 4; x1+1/2=0, 3

f11=z1=1, 02 f21=2*0, 2-1, 2+1, 02=0, 22

y1+1/2=1, 2+1, 02*0, 1=1, 1 z1+1/2=1, 02+0, 22*0, 1=1, 042

α 1=z1+1/2=1, 042 β 1=2*0, 3-1, 302+1, 042=0, 34

y2=1, 2+1, 042*0, 2= 1, 4084 z2=1.02+0, 34*0, 2= 1, 088

 

3).x3=0, 6; x2+1/2=0, 5

f12=z2=1, 088 f22=2*0, 4-1, 4084+1, 088=0, 4796

y2+1/2=1, 4084+1, 088*0, 1=1, 5172 z2+1/2=1, 088+0, 4796*0, 1=1, 13596

α 2=z2+1/2=1, 13596 β 2=2*0, 5-1, 5172+1, 13596=0, 61876

y3=1, 4084+1, 136*0, 2= 1, 635592 z3=1, 088+0, 61876*0, 2= 1, 211752

 

4).x4=0, 8; x3+1/2=0, 7

f13=z3=1, 211752 f23=2*0, 6-1, 636+1, 212=0, 77616

y3+1/2=1, 636+1, 212*0, 1=1, 7567672 z3+1/2=1, 212+0, 776*0, 1=1, 289368

α 3=z3+1/2=1, 289368 β 3=2*0, 7-1, 7568+1, 289=0, 9326008

y4=1, 6+1, 289*0, 2= 1, 8934656 z4=1, 212+0, 93*0, 2= 1, 39827216

5).x5=1; y4+1/2=0, 9

f14=z4=1, 39827216 f24=2*0, 8-1, 893+1, 398=1, 10480656

y4+1/2=1, 893+1, 398*0, 1=2, 0332928 z4+1/2=1, 398+1, 105*0, 1=1, 508752816

α 4=z4+1/2=1, 508752816 β 4=2*0, 9-2, 03+1, 5=1, 27546

y5=1, 893+1, 5*0, 2= 2, 195216163 z5=1, 398+1, 275*0, 2= 1, 65336416

 

3. Чтобы решить уравнение третьего порядка

y///=2x-y-y/+y//

на отрезке [0, 1], с шагом h=0, 2 и начальными условиями

y0//=1

y0/=1

y0=1

необходимо сделать 3 замены: y/=a y0/=a0=1

y//=a/=b y0//=b0=1

b/=2x-y-a+b

 

1).x1=0, 2; x1/2=0, 1

y(a1)=y(a0)+a0h y(a1/2)=y(a0)+f10h/2

a(b1)=a(b0)+β 0h a(b1/2)=a(b0)+f20h/2

b(x1, y1, a1)=b(x0, y0, a0)+γ 0h b(x1/2, y1/2, a1/2)=b(x0, y0, a0)+f30h/2

f10=f(a0, y(a0))=1 y1/2=1+1*0, 1=1, 1

f20=f(b0, a(b0))=1 a1/2=1+1*0, 1=1, 1

f30=f(x0, y0, a0, b0)=-1 b1/2=1-1*0, 1=0, 9

α 0=a1/2=1, 1 y(a1)=1+1, 1*0, 2= 1, 22

β 0=b1/2=0, 9 a(b1)=1+0, 9*0, 2= 1, 18

γ 0=2*0, 1-1, 1-1, 1+0, 9=-1, 1 b(x1, y1, a1)=1-1, 1*0, 2= 0, 78

 

2).x2=0, 4; x1+1/2=x1+h/2=0, 3

f11=a1=1, 18 y1+1/2=1, 22+1, 18*0, 1=1.338

f21=b1=0, 78 a1+1/2=1, 18+0, 78*0, 1=1, 258

f31=2*0, 2-1, 22-1, 18+0, 78=-1, 22 b1+1/2=-1, 22*0, 1+0, 78=0, 658

α 1=a1+1/2=1, 258 y2=1, 22+1, 258*0, 2= 1, 4716

β 1=b1+1/2=0, 658 a2=1, 18+0, 658*0, 2= 1, 3116

γ 1=2*0, 3-1, 338-1, 258+0, 658=-1, 338 b2=0, 78-1, 338*0, 2= 0, 5124

 

3).x3=0, 6; x2+1/2=0, 5

f12=a2=1, 3116 y2+1/2=1, 47+1, 3*0, 1=1, 60276

f22=b2=0, 5124 a2+1/2=1, 3116+0, 5*0, 1=1.36284

f32=2*0, 4-1, 47-1, 31+0, 512=-1, 4708 b2+1/2=0, 4-1, 4*0, 1=0, 36542

α 2=1, 36284 y3=1, 4716+1, 3116*0, 2= 1, 744168

β 2=0, 36542 a3=1, 3116+0, 3654*0, 2= 1, 384664

γ 2=2*0, 5-1, 6-1, 36+0, 365=-1, 60018 b3= 0, 51-1, 60018*0, 2= 0, 192364

 

4).x4=0, 8; x3+1/2=0, 7

f13=1, 384664 y3+1/2=1, 74+1, 38*0, 1=1, 8826364

f23=0, 192364 a3+1/2=1, 38+0, 19*0, 1=1, 4039204

f33=2*0, 6-1, 7-1, 38+0, 19=-1, 736488 b3+1/2=0, 19-1, 7*0, 1=0, 0187152

 

 

α 3=1, 4039204 y4=1, 74+1, 4*0, 2= 2, 0249477

β 3=0, 0187152 a4=1, 38+0, 9187*0, 2= 1, 388403

γ 3=2*0, 7-1, 88-1, 4+0, 0187=-1, 8678416 b4=0, 192-1, 87*0, 2= -0, 1812235

 

5).x4=1; x4+1/2=0, 9

f14=1, 388403 y4+1/2=2, 02+1, 388*0, 1=2, 16379478

f24=-0, 1812235 a4+1/2=1, 4-0.181*0, 1=1, 370306608

f34=2*0, 8-2, 02-1, 388-0, 18=-1, 9945834 b4+1/2=-0, 18-1, 99*0, 1=-0, 38066266

α 4=1, 3703 y5=2, 02+1, 37*0, 2= 2, 2990038

β 4=-0, 38066 a5=1, 388-0, 38*0, 2= 1, 3122669

γ 4=2*0, 9-2, 16-1, 37-0, 38=-2, 114764056 b5=-0, 181-2, 1*0, 2= -0, 6041734

 

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.023 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал