Метод хорд. В основе метода лежит линейная интерполяция функции по двум значениям, имеющим противоположные знаки

В основе метода лежит линейная интерполяция функции по двум значениям, имеющим противоположные знаки. Метод хорд дает решение задачи для достаточно малых ε за меньшее число арифметических операций, чем метод половинного деления. Порядок его сходимости равен p ≈ 1, 618.

Пусть нужно найти корень уравнения

f (x) = 0

на отрезке

[a, b], причем известно, что f(x) непрерывна на [a, b] и

f(a) ⋅ f(b) < 0. Кроме того, пусть

f / (x) и

f // (x)

на отрезке

[a, b] сохраняют свой знак. Заменим функцию f(x) на отрезке

[a, b] линейной функцией (рис.1.3), составив уравнение прямой, которая проходит через точки (a, f(a)) и (b, f(b)):

y − f(a)

f(b) − f(a)

= x − a;

b − a

y = f(a) + x − a [f(b) − f(a)].

b − a

Линейная функция

P(x) = f(a) + x − a [f(b) − f(a)]

b − a

на концах

отрезка [a, b] принимает те же самые значения, что и функция

f(x). В качестве приближенного корня уравнения

f (x) = 0

возьмем точный корень уравнения P(x) =0. Это значение x 1

(первое приближение) определяется из соотношения

f(a) + x 1 − a [f(b) − f(a)]= 0,

b − a

откуда следует, что

x 1 = a − f(a)

b-a.

f(b)-f(a)

Далее рассмотрим отрезки

[a, x 1 ], [x 1, b]

и выберем из

них тот, на концах которого функция f(x) имеет значения противоположных знаков. Те же вычисления выполним на выбранном отрезке и получим второе приближение к корню

x 2 и так до тех пор, пока не получим корень уравнения (1.1)

с заданной степенью точности.

Алгоритм метода следующий. До начала итерационного процесса задаем точность ε, с которой нужно получить решение, и отрезок [a, b], содержащий корень. Затем:

1. Вычисляем приближение к корню:

x = a − f(a)

b − a.

f(b) − f(a)

2. Проверяем выполнение неравенства

f(x) < е и,

если оно выполняется, то x считаем решением, если же не выполняется, продолжаем вычисления.

3. Проверяем условие

f(x) ⋅ f(a) < 0, и, если оно

выполняется, полагаем

b = x, в противном случае

a = x и

повторяем вычисления с п.1.