Метод простой итерации. Выбрав начальное приближение

Заменим уравнение

уравнением

f(x) = 0

равносильным ему

x = ϕ (x). (1.4)

Выбрав начальное приближение

x 0 ∈ [a, b]

и подставив его в

правую часть уравнения (1.4), получим

x 1 = ϕ (x 0 ). Затем это

значение

x 1 снова подставим в правую часть уравнения (1.4)

и найдем

x 2 = ϕ (x 1 ). Повторяя этот процесс, получаем

числовую последовательность

возможны два случая:

xk = ϕ (xk- 1 ). При этом

1) последовательность

x 0, x 1 ,..., xk

сходится, т.е. имеет

предел и тогда этот предел будет корнем уравнения

f(x) = 0;

2) последовательность расходится, т.е. не имеет предела или стремится к бесконечности.

Геометрическая интерпретация метода показана на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Метод простой итерации

Метод сходится, если выполняется условие

ϕ ′ (x) < 1. Чем

меньше

ϕ ′ (x), тем быстрее сходимость итерационного

процесса. Практически метод простых итераций осуществляется так.

1. Преобразовать уравнение

f(x) = 0

к виду (1.4) таким

образом, чтобы

ϕ ′ (x) < 1.

2. Принять за начальное приближение любое число из отрезка [a, b].

3. Вычислять последовательность приближений по формуле

xk = ϕ (xk- 1 ),

k= 1, 2 ,...

до тех пор, пока для двух последовательных приближений не

будет выполнено неравенство

xk − xk − 1

≤ е.

Пример. Найти методом простой итерации на отрезке [0, 1]

корень уравнения 5 x 3 − 20 x + 3 = 0.

Решение. К виду

x = ϕ (x)

это уравнение можно

преобразовать несколькими способами, например:

1. x = x + (5 x 3 − 20 x + 3), т.е. ϕ 1 (x) = 5 x 3 − 19 x + 3.

Метод обратной квадратичной интерполяции-