Description. The Gamma function is defined for Re(z)>0 by GAMMA(z)=int(exp(-t)*t^(z-1),t=0..infinity)

The Gamma function is defined for Re(z)> 0 by GAMMA(z)=int(exp(-t)*t^(z-1), t=0..infinity)

and is extended to the rest of the complex plane, less the non-positive integers, by analytic continuation. GAMMA has a simple pole at each of the points z=0, -1, -2,....

> plot(GAMMA(z), z=-4..5, -10..20);

График 13.3. Представление Гамма-функции.

> GAMMA(n+1)=convert(GAMMA(n+1), factorial);

>

13.2. Определённый интеграл.

Формат команды (для произвольной подинтегральной функции):

> int(f(x), x=a..b);

" x = a..b" - обозначение пределов и области интегрирования. Многоточие выражено двумя точками! Один или оба предела могут быть бесконечны.

В некоторых случаях программа нуждается в дополнительном определении параметров или области значений аргумента. Пример:

> int(exp(B*x^2), x=0..infinity);

Definite integration: Can't determine if the integral is convergent. Need to know the sign of --> -B. Will now try indefinite integration and then take limits.

Maple не может определить, сходится ли интеграл и требует знак B. Заданный выше интеграл сходится для В< 0.

> assume(B< 0); int(exp(B*x^2), x=0..infinity);

В некоторых случаях, как подсказывает программа, можно попробовать найти неопределённый интеграл, а затем вычислить его предел.

Другие примеры:

> int(x^n, x=a..b);

limit: " need to determine the sign of, -n-1"

Warning, unable to determine if 0 is between a and b; try to use assumptions or use the AllSolutions option

> assume(n> -1); int(x^n, x=a..b);

Перед интегрированием введено затребованное программой условие на n (см. выше).

> int(sin(x), x=a..b);

Иногда интеграл может оказаться не имеющим определённого значения (undefined):

> int(sin(x), x=0..infinity);

Не путайте этот ответ программы с понятием неопределённого интеграла!

Определённый интеграл также может выражаться высшей трансцендентной функцией.

> assume(a> 0); int(exp(-a*x^2), x=0..z); int(exp(-a*x^2), x=0..infinity);

int(x^n*exp(-x), x=0..infinity);

Определённый интеграл функции комплексного переменного (пределы могут быть в комплексной плоскости).

> int(x*exp(-I*x), x=0..1); int(x*exp(-I*x), x=0..1+I);

>