Асимптотическое поведение функций.

В ряде задач надо знать не только предельное значение функций при x => ¥, но и закон, по которому они стремятся к этому значению (запомните отличие асимптотического разложения от представления функций рядами в малой окрестности данной точки в п. 16). Асимптотическое поведение функций выявляется с помощью оператора asympt. Функция определяется оператором присвоения, либо вписывается прямо в команду в явном виде. Формат команды:

> f: =x^2*exp(-x^2/(x+1)); asf: =asympt(f, x);

Результат выводится в виде суммы нескольких первых членов ряда (см. п. 16), по умолчанию - 6. Специальное обозначение O(1/(x^4)) (O = Omicron) - пренебрежимый в данном приближении остаточный член ряда. В таких разложениях этот член убывает с ростом аргумента, в отличие от разложений в малой окрестности данной точки, где он убывает с уменьшением аргумента. Вводя в команду дополнительный цифровой параметр - точность приближения - можем уточнить или упростить результат:

> asf3: =asympt(f, x, 3);

Сравнение поведения точной функции с её асимптотическими представлениями и пределом показано на графике ниже. Для графического представления и численных оценок асимптотические разложения следует конвертировать в полином, чтобы исключить неопределённый остаточный член.

> lf: =limit(f, x=infinity); asy3: =convert(asf3, polynom); asy6: =convert(asf, polynom);

> plot([f, asy3, asy6, lf], x=1..8, style=[line, line, line, point], color=[black, red, blue, gre-en]);

График 11.2. Асимптотические представления приближаются к точной функции, а последняя стремится к пределу. Не все функции имеют асимптотическое приближение.

> asympt(sin(x), x);

Error, (in asympt) unable to compute series

Иногда, для получения нетривиального результата нужно повысить точность приближения.

> ff: =exp(-x^2)/x^6-exp(-x^2)/x^8;

> asympt(ff, x); asympt(ff, x, 8);

>