Пределы.

Оператор предела limit. Функцию задают оператором присвоения, или вписывают прямо в команду. Первое удобнее, когда ищут несколько пределов, либо с функцией совершают ещё какие-то действия. Параметр указывает точку, в которой ищем предел. Можно искать предел в бесконечности (infinity). Предел может быть внутренним и внешним оператором.

> limit((x^2-2*x+1)/(x-1), x=1); limit((x^2-2*x+1)/(x^2-1), x=infinity); limit(sin(x)/x, x=0); f: =(1+1/x)^x; limit(f, x=infinity); evalf(%);

Иллюстрация:

> plot([f, exp(1)], x=0..50, style=[line, point]);

График 11.1. Стремление функции к пределу.

Пределы справа (right) и слева (left) (в точках разрыва могут быть не равны!)

> limit(1/x*exp(-1/x), x=0, right); limit(1/x*exp(-1/x), x=0, left);

Без дополнительного указания предел в точке разрыва не определён (un-defined)

> limit(1/x*exp(-1/x), x=0);

Другой пример неопределённого предела (программа указывает только диапазон его):

> limit(cos(x), x=infinity);

Иногда программа возвращает ввод. Это возможно, когда не доопределён какой-либо параметр функции.

> limit(exp(-a/x), x=0);

В таких случаях необходимо дополнительное условие на параметр assume.

> assume(a> 0); limit(exp(-a/x), x=0);

Условия assume в данном случае недостаточно, т. к. предел в точке разрыва не определён. Пределы справа и слева:

> limit(exp(-a/x), x=0, right); limit(exp(-a/x), x=0, left);

>