Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:

(4.5.1)

Решить дифференциальное уравнение это значит определить функцию y=F(x), которая при подстановке в уравнение (4.5.1) приводит к тождеству. Поиск решения y=F(x) при реализации аналитических методов сводится к интегрированию уравнения (4.5.1), что не всегда приводит к успеху из-за сложности вида f(x, y). Поэтому для решения задач (4.5.1) используют численные методы.

Метод Эйлера. При реализации метода Эйлера для уравнения (4.5.1) первую производную заменяют приближенным соотношением:

, (4.5.2)

которое является первым приближением формулы Тейлора:

Таким образом, уравнение (4.5.2) преобразуется к виду:

(4.5.3)

где .

Для решения уравнения (4.5.1) с помощью приближения (4.5.3) вводят начальное условие Коши .

Поясним применимость формулы (4.5.3) для решения дифференциального укравнения на отрезке [1, 3] при начальном условии y(x=1)=2.

Выберем шаг итерации 0.5:

y(1)=2;

Отсюда

y(1)=2;

y(1.5)=2+0.5*(2*2+e)=5.39;

y(2)=5.39+0.5*(2*5.39+ )=13.1;

y(2.5)=13.1+0.5*(2*13.1+ )=43.17;

y(3)=43.17+0.5*(2*43.17+ )=92.79.

Результаты вычислений представлены в таблице

k
			-	-
	1.5	5.39	3.39
		13.1	7.71	5.39
	2.5	43.17	30.07	13.1
		92.79	49.62	43.17

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Итерационная формула в этом методе имеет вид:

(4.5.4),

где ; ; ; .

Поясним применимость метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения на отрезке [1, 3] с начальными условиями y(x=1)=2.

Выберем шаг 1:

;

;

;

;

;

для следующего шага:

;

;

;

;

;

Обозначим . Результаты вычислений представлены в таблице:

k
			-	-
		26.27	24.27
		201.3	175.03	26.27

Для решения дифференциального уравнения более высокого порядка используется следующий прием. Любое уравнение n-го порядка можно свести к системе n уравнений первого порядка способом замены переменных. Для этого вводят новые переменные , в результате чего получают эквивалентную систему:

Указанный метод позволяет свести решение дифференциального уравнения n-го порядка к решению системы n уравнений первого порядка. В свою очередь методы решения одного уравнения первого порядка распространяются на систему таких уравнений.

Рассмотрим данный метод на примере дифференциального уравнения с начальными условиями , на отрезке [1, 3].

Выполним замену переменной и приходим к системе из двух уравнений:

Таким образом любое уравнение n-порядка можно свести к системе уравнений первого порядка.

Пример. Написать алгоритм и программу решения дифференциального уравнения на отрезке [0, 2] методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Начальное условие Коши y(0)=1.

Обозначим выражение (4.5.4) в схеме алгоритма как (a).

program Runge_Cutta;

uses crt;

var y, x: array [1..11] of real;

k1, k2, k3, k4, y0, h, f0, fn: real;

i: integer;

function fun(x, y: real): real;

begin

fun: =2*y+exp(x);

end;

begin {н.п.}

clrscr;

f0: =0;

fn: =2;

h: =abs(fn-f0)/10; {шаг}

y0: =1; k1: =0; k2: =0; k3: =0; k4: =0;

k1: =fun(f0, y0);

k2: =fun(f0+h/2, y0+h*k1/2);

k3: =fun(f0+h/2, y0+h*k2/2);

k4: =fun(f0+h/2, y0+h*k3/2);

y[1]: =y0+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); {вычисление функции в первой

точке}

x[1]: =f0;

f0: =f0+h;

for i: =2 to 11 do begin

k1: =fun(f0, y[i-1]);

k2: =fun(f0+h/2, y[i-1]+h*k1/2);

k3: =fun(f0+h/2, y[i-1]+h*k2/2);

k4: =fun(f0+h/2, y[i-1]+h*k3/2);

y[i]: =y[i-1]+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); {вычисление функции в

остальных точках}

x[i]: =f0;

f0: =f0+h;

end;

for i: =1 to 11 do

writeln('x[', i, ']=', x[i]: 2: 1, ' y[', i, ']=', y[i]: 5: 3);

readln;

end.{к.п.}

Результаты задачи 5:

x[1]=0.0 y[1]=1.733 x[2]=0.2 y[2]=2.870

x[3]=0.4 y[3]=4.618 x[4]=0.6 y[4]=7.282

x[5]=0.8 y[5]=11.315 x[6]=1.0 y[6]=17.391

x[7]=1.2 y[7]=26.510 x[8]=1.4 y[8]=40.151

x[9]=1.6 y[9]=60.505 x[10]=1.8 y[10]=90.814

x[11]=2.0 y[11]=135.871