Глава 1. Численные методы и особенности использования ЭВМ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

А.С. Зуев, А.П. Иванова

Численные методы

Учебно-методическое пособие

по дисциплине «Численные методы»

для специальности 08.08.01 «Прикладная информатика в экономике»

Москва 2009

УДК 519.6

Рецензент:

к.ф.–м.н., доцент кафедры «Вычислительная математика»

Московского государственного университета

путей сообщения (МИИТ)

Логинова Н.Б.

Зуев А.С., Иванова А.П. Численные методы / под ред. д.т.н., проф. Сигала И.Х. – М.: МГУПИ, 2009. – 162 с.

АННОТАЦИЯ

В данном учебно-методическом пособии представлен теоретический материал и приведены примеры решения задач по дисциплине «Численные методы» для студентов экономических специальностей, в частности, специальности 08.08.01 «Прикладная информатика в экономике».

В пособии представлены основные численные методы, наиболее часто применяемые при решении различных экономических и технических задач математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, предусмотренные Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и программой курса для экономических специальностей.

Данное пособие должно предоставить читателю основные понятия о численном решении различных задач вычислительной математики и не претендует на полноту изложения всего арсенала существующих численных методов. В пособии отсутствуют многие формальные доказательства, например, сходимости вычислительных процессов, а также многие обоснования и выводы формул, которые можно найти в рекомендуемой литературе, список которой приведен в конце пособия. Краткость изложения рассматриваемых методов достигнута, как представляется авторам, не в ущерб его строгости и точности с математической точки зрения.

Данное учебно-методическое пособие выпускается малым тиражом с целью апробации доступности изложения и возможности использования представленного в нем материала для подготовки студентов как очной и заочной, так и дистанционной форм обучения.

Содержание

Предисловие.............................................................................................................. 5

Глава 1. Численные методы и особенности использования ЭВМ

в решении математических задач........................................................................... 6

1.1. Математическое моделирование и численные методы............................... 6

1.2. Общая постановка и понятие устойчивости задач вычисления............... 12

1.3. Структура погрешности решения задач вычисления.............................. 13

1.4. Абсолютная и относительная погрешности.............................................. 16

1.5. Погрешность машинных вычислений и представлений чисел в

памяти ЭВМ...................................................................................................... 18

1.6. Графы вычислительных процессов........................................................... 20

1.7. Вопросы для самопроверки...................................................................... 22

Глава 2. Решение нелинейных уравнений с одной переменной....................... 23

2.1. Локализация корней.................................................................................. 25

2.2. Уточнение корней...................................................................................... 28

2.2.1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)...................... 29

2.2.2. Метод хорд........................................................................................ 33

2.2.3. Метод Ньютона (касательных)......................................................... 34

2.2.4. Модифицированный метод Ньютона............................................... 38

2.2.5. Метод секущих.................................................................................. 39

2.2.6. Метод итераций................................................................................. 40

Комбинированный метод хорд и касательных................................ 44

2.3. Вопросы для самопроверки...................................................................... 46

Глава 3. Методы приближения, интерполяции и аппроксимации функций. 47

Методы приближения функций................................................................. 48

Формула Тейлора, ряд Тейлора...................................................... 49

Полиномы Чебышева........................................................................ 50

3.1.3. Экономизация степенных рядов....................................................... 53

Приближения с помощью дробно-рациональных функций........... 54

Методы интерполяции функций................................................................ 55

3.2.1. Прямой метод.................................................................................... 55

3.2.2. Полином Лагранжа........................................................................... 57

Полином Ньютона............................................................................. 59

Методы аппроксимации функций............................................................. 63

Среднеквадратичная аппроксимация............................................... 63

Полиномиальная аппроксимация..................................................... 73

3.4. Вопросы для самопроверки...................................................................... 74

Глава 4. Численное интегрирование.................................................................... 75

4.1. Понятие определенного интеграла........................................................... 75

4.2. Классификация методов численного интегрирования............................. 77

4.3. Методы Ньютона-Котеса........................................................................... 81

4.3.1. Методы прямоугольников................................................................ 81

4.3.2. Метод трапеций................................................................................. 84

4.3.3. Метод Симпсона (метод парабол).................................................... 85

4.4. Погрешность методов Ньютона-Котеса.................................................... 88

4.5. Вычисление интегралов с заданной точностью........................................ 91

4.6. Особые случаи численного интегрирования............................................ 92

4.7. Вычисление кратных интегралов.............................................................. 94

4.8. Методы Монте-Карло.............................................................................. 101

4.9 Вопросы для самопроверки..................................................................... 105

Глава 5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений... 108

5.1. Общие вопросы теории дифференциальных уравнений........................ 110

5.2. Аналитические методы. Интегрирование с помощью рядов................. 115

5.3. Численные методы. Метод Эйлера.......................................................... 128

5.4. О точности методов численного интегрирования дифференциальных уравнений......................................................................................................................... 134

5.5. Дифференциальные уравнения в экономической динамике.................. 135

5.6. Вопросы для самопроверки.................................................................... 138

Глава 6. Численное дифференцирование.......................................................... 139

6.1. Дифференцирование функций, заданных аналитически........................ 141

6.2. Дифференцирование функций, заданных таблично............................... 146

Вычисление частных производных......................................................... 147

6.4. Приложение производной в экономической теории.............................. 148

6.5. Вопросы для самопроверки.................................................................... 149

Глава 7. Методы численной оптимизации........................................................ 150

Метод золотого сечения.......................................................................... 152

7.2. Метод деформируемого многогранника................................................ 154

Градиентные методы................................................................................ 156

Метод Ньютона........................................................................................ 158

7.5. Вопросы для самопроверки.................................................................... 160

Заключение............................................................................................................ 161

Литература............................................................................................................ 162

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одной из характерных особенностей научно-технического прогресса является широкое применение численных математических методов в профессиональной деятельности современных специалистов. В связи с этим одной из важных дисциплин подготовки специалистов в областях экономики становится дисциплина «Численные методы», которая развивает идеи численного решения задач, возникающих в процессе компьютерного математического моделирования явлений, относящихся к различным предметным сферам.

Современные численные методы в совокупности с автоматизацией их применения на персональных компьютерах превращаются в эффективный инструмент решения задач научного, технического и экономического характера. Целью обучения численным методам является формирование у студентов систематизированных понятий о приближенных методах решения прикладных задач, а также подготовка студентов к разработке и применению на персональных компьютерах вычислительных алгоритмов решения математических задач.

С точки зрения авторов, современный курс «Численных методов» должен сочетать в себе обязательное изучение теории данных методов и приемов их практической реализации на ЭВМ как путем написания программ, так и в результате использования современных математических пакетов и пакетов прикладных программ. Такой подход к преподаванию дисциплины позволит сформировать у студентов понимание математического содержания конкретного метода (границ его применимости, погрешности и т.д.) и умение использовать современные программные средства. В предлагаемом подходе к преподаванию курса «Численные методы» весьма важным оказывается выбор базового программного средства.

Одной из задач, преследуемых авторами при изложении материала, является укрепление и развитие у читателя алгоритмического мышления, так как результат решения любой задачи – это не только то, что было получено в качестве ответа, но и то, как данный ответ был получен, то есть сам алгоритм решения. Требуется также отметить, что современные персональные компьютеры обладают очень большими вычислительными ресурсами и излагаемый в пособии материал не акцентирован на возможностях их экономии. Однако следует понимать, что задачей дисциплины «Численные методы» является реализация вычислительных алгоритмов, эффективных в использовании вычислительных ресурсов ЭВМ.

Естественно, что читатель, изучивший настоящее учебно-методическое пособие, не может считаться специалистом по численному анализу, но он будет располагать знаниями, необходимыми для практического решения типичных задач и позволяющими самостоятельно реализовать дальнейшее более глубокое изучение данной дисциплины.