Абсолютная и относительная погрешности

Данный раздел посвящен рассмотрению определений и принципов оценки абсолютной и относительной погрешностей значений величин, а также результатов выполнения над ними арифметических операций.

Определение 1.2. Если - точное значение некоторой величины и - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину .

Определение 1.3. Если - точное значение некоторой величины и - известное приближение к нему, то относительной погрешностью приближенного значения называют величину . Относительная погрешность часто выражается в долях или процентах.

Определение 1.4. Значащими цифрами числа называют все цифры в его десятичной записи, начиная с первой ненулевой слева: , . В данном примере значащие цифры выделенны курсивом.

Определение 1.5. Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего данной цифре, например: ; ; , . В приведенном примере значащие цифры, выделенные курсивом, являются верными. Если все значащие цифры числа верные, то говорят, что число записано со всеми верными цифрами. Иногда употребляется термин число верных цифр после запятой, тогда подсчитывается число верных цифр после запятой от первой до последней верной цифры.

Довольно часто информация о некоторой величине задается пределами возможного изменения ее значения, например: . Пределы и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой, так как обычно достаточно грубого представления о погрешности. В записи чисел и рассматривают столько значащих цифр, сколько нужно для того, чтобы разность содержала одну или две значащие цифры.

Информацию о том, что является приближенным значением числа с абсолютной погрешностью , принято записывать в виде . Числа и записывают с одинаковым количеством знаков после запятой. Информацию о том, что является приближенным значением числа с относительной погрешностью можно записать в виде .

Пример 1.4. Примеры записи абсолютной погрешности числа :

Пример 1.5. Пример записи относительной погрешности числа :

.

Пусть даны два числа и , приближенно представляющие числа и , имеющие соответствующие абсолютные погрешности и (например, машинного представления). Рассмотрим формулы расчета значений абсолютных и относительных погрешностей результатов выполнения математических операций сложения, вычитания, умножения и деления с данными числами.

Абсолютная погрешность суммирования чисел , :

.

Относительная погрешность суммирования чисел , :

.

Абсолютная погрешность вычитания чисел , :

.

Относительная погрешность вычитания чисел , :

.

Абсолютная погрешность умножения чисел , :

.

Здесь и в представленных далее формулах результат произведения абсолютных погрешностей чисел и не принимается во внимание так как его значение очень мало.

Относительная погрешность умножения чисел , :

.

Абсолютная погрешность деления чисел , :

.

Относительная погрешность деления чисел , :

.

Абсолютная погрешность вычисления значения функции, зависящей от одной переменной:

, .

Относительная погрешность вычисления значения функции, зависящей от одной переменной:

.

Аналогично получают формулы для оценки абсолютной и относительной погрешностей вычисления значений функций, зависящих от n переменных.