Сетка на плоскости в произвольной области

Пусть на плоскости дана область G сложной формы с границей Г рис.4.. Проведем прямые

Рис.4. разностная сетка на области сложной формы

Тогда на плоскости получим сетку с узлами , . Эта сетка равномерна по каждому направлению. Нас интересуют только те узлы, которые принадлежат области G с границей Г .

Узлы, попавшие внутрь G, назовем внутренними узлами и обозначим их совокупность . Точки пересечения прямых с границей Г назовем граничными узлами, а их множество обозначим . Видно, что имеются граничные узлы, которые отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстояния меньшем . Таким образом, сетка для области G неравномерна вблизи границы.

Рассматривают два возможных способа задания граничных условий для сложной области:

- ввести дополнительные узлы в точках пересечения линий сетки с границей и в них задать граничные условия;

- границу области аппроксимировать ломаной, проходящей через ближайшие к границе естественные узлы и перенести по определенному закону граничные условия на эту ломаную линию.

Для решения, например, одномерных нестационарных задач, используют произведение сеток – сетки по координате и сетки по времени, называемой пространственно-временной сеткой .Совокупность узлов, лежащих на линии , называют i – м слоем.

Вопрос оптимального выбора шага сетки и тем самым количества ее узлов является непростым. С одной стороны, чем большая требуется точность, с которой необходимо получить решение, тем более мелкий шаг желателен. С другой стороны, слишком мелкий шаг значительно увеличивает число неизвестных. Очевидно, должны существовать некоторые оптимальные сетки со сравнительно небольшим числом узлов, называемыми реальными сетками или грубыми.

Построение разностной схемы проводится таким образом, чтобы получаемая в результате решения сеточная функция была как можно ближе к искомой непрерывной функции.

Вместо функций непрерывного аргумента будем рассматривать сеточные функции , т.е. функции точки , являющейся узлом сетки в виде вектора .

Для оценки близости приближенного решения (решения на сетке) к точному решению исходной краевой задачи можно использовать два способа

1. Производится интерполяция сеточной функции на все точки области G, после чего определяется норма разности .

2. Точное решение преобразуется в сеточную функцию ( - одно из возможных обозначений сеточных функций), после чего, определив сеточную норму , оценивается погрешность приближенного решения в этой норме. На практике в качестве сеточных норм используются:

а) сеточный аналог чебышевской нормы в пространстве непрерывных функций С

б) сеточный аналог гильбертовой нормы в , где h=h в одномерном случае и в двумерном.

Тогда если при бесконечном дроблении сетки величина , то можно говорить о близости решения разностной и краевой задачи.

АППРОКСИМАЦИЯ ППРОИЗВОДНЫХ. ПОРЯДОК АППРОКСИМАЦИИ.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ.

Решение исходной задачи, таким образом, сводится к нахождению числовых значений функции в точках сетки на соответствующей области. Для приближенного вычисления этой таблицы необходимо дифференциальный оператор краевой задачи А, заданный в классе непрерывных функций, приближенно заменить (аппроксимировать) разностным оператором , заданном на множестве сеточных функций. Разностный аналог, аппроксимирующий исходную краевую задачу, можно построить различными способами. В связи с этим возникает задача построения такой разностной схемы, которая была бы оптимальной в определенном смысле. Обычно требуют, чтобы построенная разностная схема на сравнительно грубых сетках обеспечивала необходимый уровень точности для получаемого приближенного решения. Среди множества возможных конструктивных подходов к построению разностных аналогов для дифференциальных операторов выделим основные:

- метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями;

- интегро-интерполяционный метод;

- вариационные методы построения разностных схем;

- метод неопределенных коэффициентов.

Метод формальной замены производных конечно-разностными выражениями. Метод конструирования разностных схем с помощью замены производных конечно-разностными выражениями основан на использовании разложения в ряд Тейлора достаточно гладких функций. Заменим производную, входящую в дифференциальной уравнение, разностным соотношением, содержащим значение сеточной функции в нескольких узлах сетки, образующих некоторую определенную конфигурацию. Такая совокупность узлов называется шаблоном. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называют регулярными, а остальные узлы – нерегулярными. Рассмотрим возможные способы аппроксимации дифференциального оператора вида:

(1)

определенного на множестве непрерывных функций в области G={d< x< b}, имеющих ограниченные производные третьего порядка включительно. Пусть - равномерная сетка на отрезке. Тогда наиболее естественный способ замены производной основывается на определении производной как предела

.

Если зафиксировать h в этом равенстве, то получим приближенную формулу для первой производной через конечные разности

.

Или в k -м узле имеем правое разностное отношение

(2)

Аналогично вводится левое разностное соотношение

. (3)

Можно рассматривать и линейную комбинацию (2) и (3)

, (4)

где - любое вещественное число. При получим центральное разностное соотношение

. (5)

На рис.5 представлена геометрическая интерпретация производной в точке и ее разностная аппроксимация. Линия D отражает истинное значение производной в точке С, правую разность – линия СВ, левую – АС, центральную – АВ. Значение тангенса угла наклона прямой АВ ближе к значению тангенса прямой D.

Рис.5. Геометрическая интерпретация разностей

При замене оператора разностным выражением (2) –(4) допускается погрешность называемая погрешностью аппроксимации оператора А разностным оператором в точке x.

Для вычисления оценки разложим T(x) в каждом внутреннем узле сетки в ряд Тейлора:

. (6)

Тогда в точке получим следующие выражения, соответствующие разностным соотношениям (2)- (5):

(7)

(8)

(9)

(10)

Факт аппроксимации в точке называют часто локальной аппроксимацией. Тогда из равенств (6)-(10) следует, что порядок локальных аппроксимаций оператора в узловой точке сетки разностными операторами (2)- (5) равен единице в первых трех случаях и двум – в последнем.

Отметим, что разностная производная (2) является правой относительно узла и в то же время левой относительно узла . Относительно полуцелой точки эта же производная будет центральной. Поэтому разностная производная (2) аппроксимирует производную dT/dx с первым порядком точности в узлах k и k+1 и со вторым порядком в полуцелой точке k+1/2.

Таким образом, видим, что выбор шаблона существенно влияет на свойства разностного оператора.

Рис.6. Виды шаблонов

Рассмотрим аппроксимацию второй производной . В отличие от первой производной, для которой достаточно двухточечного шаблона, для второй производной выберем трехточечный шаблон ().

(11)

Пользуясь разложением в ряд Тейлора функции (6), получим, что порядок аппроксимации в этом случае равен двум, так как:

Рассмотрим оператор одномерного уравнения теплопроводности

(12)

в области , предполагая, что функция температуры непрерывна вместе со своими производными до четвертого порядка по переменной x и до второго порядка производной по времени . Область непрерывного изменения аргумента заменим сеточной областью

,

Аппроксимируем производную по времени правым разностным соотношением

, (13)

а для второй производной по переменной x запишем разностное соотношение (11) на временном слое i:

(14)

или на временном слое i+1

. (15)

В соответствии с этим можно рассмотреть две различных аппроксимации оператора (12) на шаблонах, приведенных на рис.6

(16)

(17)

Погрешность локальной аппроксимации оператора (12) разностными операторами (16), (17) будет равна соответственно

Оператор (12) можно аппроксимировать и на шеститочечном шаблоне, образовав линейную комбинацию уравнений (16), (17):

(18)

Оценим порядок локальной аппроксимации оператора (12) разностным оператором (18)

Если предположить, что , то При Т.е. в этом случае оператор A[T] аппроксимируется со вторым порядком точности по .

Метод интегральных тождеств. Интегро-интерполяционныи метод. При численном решении кра­евых задач естественно потре­бовать, чтобы для построенной разностной схемы выполнялись основные законы сохранения субстанции (теплоты, энергии, массы и т.п.), положенные в основу при постановке краевой задачи в дифференциальной форме. Разностные схемы, для ко­торых удовлетворяется это требование, называются консервативными; схемы, в которых нарушаются законы сохранения, - неконсерватив­ными. А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским предложен один из наиболее эффективных методов построения консервативных разностных схем – интегро-интерполяционный.

Суть метода состоит в следующем. После выбора шаблона область измене-ния независимых переменных разбивается на элементарные ячейки, связанные с шаблоном. Затем исходное дифференциальное уравнение интегрируют по ячейке и приходят с помощью формул векторного анализа к интегральным соотно­шениям, выражающим законы сохране­ния для этой элементарной ячейки. Ин­тегралы и производные, входящие в эти соотношения, заменяются затем раз­ностными отношениями так, чтобы не нарушались законы сохранения. 'По­скольку разностные отношения могут быть взяты не единственным образом, то можно получить различ­ные разностные схемы. В качестве примера рассмотрим уравнение теплопроводности с переменной теплопроводностью

(1)

Раскроем (1):

На первый взгляд для получения аппроксимаций второго порядка естественно произвести замены

тогда получим схему

(2)

Решение по такой разностной схеме приводит к неверному результату. Решение расходится. Математически это обозначает накопление ошибки, с физической – не выполнение закона сохранения энергии (возникновение дополнительных источников притока или стока тепла). Это пример неконсервативной схемы.

При написании разностных схем следует добиваться того, чтобы последние выражали на сетке соответствующие законы сохранения, в данном случае – закон сохранения энергии (консервативные схемы). Для написания консервативной схемы используем уравнение баланса, записанного для элементарных объемов (ячеек) сеточной области. Входящие в уравнение баланса интегралы и производные заменим приближенными разностными соотношениями.

Рассмотрим более сложное уравнение

(3)

Это уравнение описывает стационарное распределение температуры в стержне

Запишем уравнение баланса тепла на отрезке . Для этого проинтегрируем уравнение (3) в пределах этого отрезка:

(4)

- количество тепла втекающего через сечение на отрезке , - количество тепла вытекающего через сечение на том же отрезке, - количество тепла выделившегося на отрезке за счет распределенных с плотностью источников тепла, -количество тепла отданного внешней среде за счет теплообмена на боковой поверхности.

Пусть на отрезке тогда

Т.е. - среднее значение k(x) на отрезке , длиной h.

Проинтегрируем равенство на отрезке

пусть на отрезке , тогда

,

где , - тепловое сопротивление отрезка , найдем

(5)

Рассмотрим отрезок и проинтегрируем на нем выражение , получим:

.

Пусть на рассматриваемом отрезке , тогда

(6)

где . Подставим в выражение (4) найденные величины (5) и (6)

(7)

(7) – консервативная разностная схема

Таким образом, одним из преимуществ интегро-интерполяционного метода является возможность его применения для уравнений с разрывными коэффициентами, так как интегральная запись закона сохранении субстанции позволяет выделить из всех математически допустимых решений краевой задачи именно то, которое представляет физически правильное обобщенное решение.