Устойчивость и сходимость разностных схем

Пусть требуется найти решение краевой задачи теплопроводности:

(1)

(2)

где - заданные функции переменной .

Введем прямоугольную сетку узлов , , где . С помощью метода разностной аппроксимации запишем три варианта разностной схемы для уравнения (1), при этом вместо индекса времени i будем применять более удобные обозначения:

Тогда, варьируя аппроксимацию производной , имеем

вариант 1

(3)

вариант 2

(4)

вариант 3

(5)

Так как число неизвестных в уравнениях (3)-(5) больше, чем число уравнений, то к каждому из выражений необходимо присоединить начальные и граничные условия, записанные в разностном виде:

(6)

Обозначим и представим уравнения (3)-(5) в следующей форме:

вариант 1

(7)

вариант 2

(8)

вариант 3

(9)

а краевые условия в таком виде:

(10)

Можно показать, что уравнения (7), (8) аппроксимируют уравнение (1) с порядком точности , а уравнение (9) – с порядком . Порядок аппроксимации краевых условий (2) уравнениями (6) имеет первый порядок относительно h. Поэтому разностные схемы (7), (10); (8), (10); (9), (10) имеют по пространственной переменной порядок O(h).

Какую схему целесообразнее использовать для получения приближенного решения и какое соотношение между шагами нужно брать? С точки зрения численного процесса, приводящего к искомому решению, наиболее просты уравнения (7) и (9).

Разностные схемы, позволяющие вычислять значение искомой функции на (i+1)-м временном слое непосредственно по известным значениям функции на слоях с номерами , называются явными. При нахождении приближенного решения по схеме (8) для вычисления на i- м временном слое необходимо решить систему N-1 или N+1 линейных алгебраических уравнений, т.е. неизвестные выражены неявно. Такие разностные схемы называют неявными. В Общем случае все разностные схемы по этому принципу (как выражены неизвестные) делятся на явные и неявные разностные схемы. Явные схемы имеют несомненное преимущество перед неявными в простоте организации вычислений. Однако большинство явных схем являются условно устойчивыми и это снижает их эффективность. Условная устойчивость означает, что не для всех соотношений шагов по времени и координате решение будет сходиться к истинному результату. Отличительной особенностью явных схем является то, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие, обеспечивающее сходимость и устойчивость метода, в противном случае будут накапливаться ошибки в ходе вычислений. Для каждого вида уравнений проводится анализ устойчивости и определяется критерий сходимости (если это возможно сделать). Уравнению с использованием явной разностной схемы соответствует критерий

. (*)

Этим условием накладывается довольно серьезное ограничение на шаг по времени.

Неявные методы, например схема (8) имеют безусловную устойчивость, т.е. шаги по времени и координате могут быть любыми. Однако, при вычислении приближенного решения по этим схемам на каждом следующем моменте времени требуется решать систему линейных алгебраических уравнений со многими неизвестными, что требует привлечение специальных методов и машинного времени.

При решении задачи с помощью третьей схемы (10), после того, как вычислены значения решения на первом временном слое, организация счета также проста, как и в схеме (7). Поэтому эта схема также относится к явным разностным схемам. Значения решения на первом слое можно получить с помощью разложения в ряд Тейлора искомой функции:

(11)

Используя основное дифференциальное уравнение теплопроводности, получим, что

, (12)

и подставим (12) в (11), тогда

Таким образом, на первый взгляд кажется, что целесообразней всего вести расчет задачи по схеме (9) (вариант 3); с точки зрения аппроксимации это уравнение лучше по сравнению с двумя первыми. Расчет поля температур для задачи (1), (2) по трем представленным вариантам, когда , показал, что расчеты по второму варианту дают качественно приемлемые результаты, а расчеты по 1и 3 вариантам приводят к абсурдным результатам при , т.е. уже на временном слое . В случае 1 и 3 вариантов разностной схемы встречаемся с явлением, которое называется неустойчивостью разностной схемы. Суть этого явления заключается в том, что при счете по неустойчивой схеме вычислительные погрешности, избежать которых невозможно хотя бы из-за округления чисел, появляясь на некотором временном слое, быстро растут и вскоре приводят к неприемлемым результатам. Т.е. схемы, которые в процессе счета усиливают начальные погрешности.

Если же возникающие в процессе расчетов вычислительные погрешности имеют тенденцию убывать (по крайней мере, не возрастают), то разностная схема называется устойчивой. Т.е. малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения.

При уменьшении шага по времени решения, полученные по 1 и 2-му варианту оказались близки между собой. Счет по третьему варианту неустойчив. Если при достаточно малых шагах по разным переменным для устойчивости разностной схемы шаги должны удовлетворять дополнительным соотношениям, то устойчивость называется условной; 1-й вариант разностной схемы относится к условно устойчивым схемам при выполнении условия (8).

Разностные схемы, которые при достаточно мелких шагах по независимым переменным и любом сколь угодно малом неустойчивы (вариант 3), называются абсолютно неустойчивыми.

Если же факт устойчивости имеет место при любом соотношении шагов по различным переменным, лишь бы они были достаточно малы, то схема называется безусловно устойчивой (вариант 2).

В общем случае разностное решение или его устойчивость может зависеть от правой части, граничных условий и начальных условий. Поэтому различают три вида устойчивости: по правой части, граничным условиям и начальному условию. Для исследования устойчивости разностной схемы используют различные методы такие, как разделение переменных, принцип максимума, разложение в ряд Фурье и т.д.

Экономичные схемы

Численные исследования нестационарных задач в дух и трехмерных пространствах значительно сложнее задач в одномерной постановке. При этом не вызывает затруднений в построении самого разностного аналога краевых задач. Однако число неизвестных в разностных схемах в многомерных случаях значительно возрастает. Если выбрать шаг h по всем пространственным переменным, то на каждом временном шаге необходимо решать систему алгебраических уравнений с неизвестными, где p –число измерений. В связи с этим значительно возрастает объем физических операций, необходимых для решения системы разностных уравнений. Так, если в прямоугольнике () задана краевая задача с граничными условиями первого рода

, , (1)

(2)

; (3)

(4)

то на прямоугольной сетке , выбрав шаблон, изображенный на рис.7, можно составить неявную разностную двухслойную схему с весами:

(5)

(6)

(7)

(8)

здесь введены разностные операторы

(9)

Посмотрим с точки зрения объема вычислительной работы на полученную схему, полагая, что число по каждой переменной равно N. При схема (5) явная и для вычисления по известным значениям требуется выполнить общее число действий, пропорциональное числу узлов сетки . Но явная схема устойчива при жестком ограничении на шаг по времени

.

Такое дробление шага по времени не связано с требованиями по точности решения и приводит к неоправданно большому объему вычислений , где p- количество измерений.

При схема (5) неявная. Она устойчива при любых шагах и h. Если , то на каждом временном слое необходимо решить систему уравнений. Для решения этой системы методом Гаусса необходимо провести действий. При расчет по неявной схеме даже менее эффективен, чем по явной.

Таким образом, явные и неявные схемы имеют свои положительные качества. Явная – объем вычислений пропорционален числу узлов разностной схемы, неявная – безусловно устойчива. Разностные схемы, сочетающие эти положительные свойства, называются экономичными.

Наибольшее распространение получили разностные схемы, основанные на методе дробных шагов по временной переменной. Экономичность решения задач с помощью разностных схем, основанных на методе дробных шагов, достигается сведением многомерной задачи к решению последовательности одномерных, для решения которых может быть использован эффективный метод прогонки.

Метод переменных направлений.

Метод переменных направлений является одним из наилучших для решения двумерных краевых задач. Для построения разностного аналога уравнения(1) введем сетку с координатами узлов

Выберем на сетке шаблон, содержащий полуцелый слой , рис.8, и составим на нем следующую разностную схему:

(10)

(11)

где разностные операторы определены выражением (9).

Из уравнения (10), (11) видно, что переход от j -го временного слоя к j+1 -му временному слою осуществляется в два шага по времени. Сначала с помощью уравнения (10) вычисляют промежуточные значения искомой функции . Уравнение (10) содержит три неизвестных , , ; остальные значения u определены на исходном слое, т.е. уравнение (10) неявно по координате и явно - по . При любом фиксированном m уравнение (10) может быть решено методом одномерной прогонки по направлению . Далее, схема (11), содержащая неизвестные , , , неявна по направлению и явна по направлению . Поэтому решение системы (11) можно получить одномерной прогонкой по направлению . Таким образом, переход с j –го временного слоя на j+1 - й совершается с помощью одномерного метода прогонки вначале в продольном направлении, а затем в поперечном. Этим обусловлено название метода.

Рассмотрим вопрос аппроксимации граничных условий (3), (4). Постановка разностных граничных условий на целом слое не вызывает затруднений:

, . (14)

Для прогонки по направлению необходимо задавать значение при n=0 и n=N. Однако задавать и нецелесообразно, так как значения не вполне соответствуют моменту , при этом вносилась бы погрешность. Поэтому при аппроксимации граничных условий на полуцелом слое определяют промежуточное значение , вычитая уравнение (11) из уравнения (10)

(12)

и записывая разность в узлах n=0 и n=N:

(15)

Выбрав граничные условия в виде (14), (15), обеспечим второй порядок аппроксимации граничных условий (3), (4) по времени.

Метод установления

Рассмотренные экономичные разностные схемы справедливы для нестационарных уравнений. Однако в ряде случаев удается их применять для решения стационарных задач. Известно из математической физики, что решение стационарного уравнения можно рассматривать как установившееся решение соответствующего нестационарного уравнения при . При этом сам процесс установления роли не играет (как идет процесс установления и величины промежуточных значений искомой функции), зачастую лишен физического смысла, а величина является параметром разностной схемы (не является временем). Счет ведется до выполнения условия

.