Математические характеристики точности приближенных чисел

Определение 2. Абсолютной погрешностью приближенного числа а назовем величину , про которую известно, что

. (1.1)

Таким образом, точное число заключено в границах

(1.2)

или сокращенно

. (1.3)

Пример 2. Приближенные числа получены округлением, точные значения чисел неизвестны. Что можно сказать об абсолютной погрешности данных приближенных чисел?

Решение. Пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что абсолютные погрешности приближенных чисел не превосходят половины единицы последнего разряда, т.е.

Кроме того, можно записать:

Пример 3. Округлить числа p = 3, 14159265…и е = 2, 71828182…до сотых и определить абсолютную погрешность полученных приближенных чисел.

Решение. В силу правил округления имеем

а₁ = 3, 14; а₂ = 2, 72.

По определению абсолютной погрешности

Замечание 1. Абсолютную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего не более одной или двух цифр, отличных от нуля (двух значащих цифр).

Замечание 2. В силу определения погрешности абсолютную погрешность округляют до одной или двух значащих цифр только в большую сторону (не придерживаясь сформулированных выше правил округления чисел).

В примере 3 в качестве абсолютной погрешности чисел а₁ и а₂ можно взять значения:

Абсолютная погрешность отражает лишь количественную сторону погрешности, но не качественную, т.е. не показывает, хорошо или плохо проведено измерение или вычисление.

Пример 4. при измерении толщины и длины крышки стола были получены результаты:

Определить, в каком случае измерение было сделано более качественно.

Решение. Абсолютная погрешность измерения для l₁ и l₂ одинакова и равна

.

Однако очевидно, что измерение l₂ было проведено более качественно, чем l₁. Для того, чтобы определить качество измерений и вычислений, необходимо выяснить, какую долю составляет абсолютная погрешность от определяемой величины. В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Определение 3. Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного числа а:

(1.4)

В примере 4 относительные погрешности измерения толщины и длины соответственно равны

Следовательно, измерение длины l₂ было произведено намного качественнее.

Замечание 3. Относительная погрешность представляет собой безразмерную величину.

При вычислении относительную погрешность округляют в большую сторону и записывают в виде числа, содержащего одну-две значащие цифры.