Метод хорд (секущих)

Предполагая опять, что f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет разные знаки на его концах, получим формулы для приближенного вычисления корня уравнения (2.1), учитывающие не только знаки f(x), но и ее значения. Для этого соединим точки хордой АВ (рис. 2.1). Точку пересечения х₁ этой хорды с осью абсцисс примем за приближенное значение корня.

Рис.2.1.

Из подобия треугольников АВС и , АВС и следуют соотношения

,

откуда получим соответственно две формулы метода хорд для х₁:

(2.7)

(2.8)

Выбрав одну из формул, (2.7) или (2.8), вычислим х₁, определим знак и, как в методе половинного деления, для дальнейших вычислений выберем тот из отрезков , на концах которого функция имеет разные по знаку значения. Оценкой абсолютной погрешности приближенного значения х₁ здесь может служить величина

,

Получим еще одну оценку абсолютной погрешности при дополнительном предположении, что на отрезке [a, b] f(x) дифференцируема и

где a - точка, расположенная между корнем x и х_1.

Отсюда

. (2.9)

Если уравнение (2.1) имеет на отрезке [a, b] несколько корней, то метод хорд, как и метод половинного деления, вычислит с точностью до один из них. Если же функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную первую и вторую производные, сохраняющие свои знаки, то можно показать [5], что последовательность приближенных значений метода хорд, построенная по формуле

, (2.10)

где с - один из концов отрезка [a, b], удовлетворяющий условию

,

а x₀ - противоположный конец отрезка, сходится к единственному на этом отрезке корню уравнения (2.1) монотонно.