Отделение корней. Рассмотрим некоторую функцию f(x).

Рассмотрим некоторую функцию f(x).

Определение. Всякое число x обращающее функцию в нуль, т.е. такое, что , называется корнем (нулем) функции или корнем уравнения

f(x)=0. (2.1)

Приближенное вычисление корня, как правило, распадается на две задачи:

1 отделение корней, т.е. определение интервалов, в каждом из которых содержится только один корень уравнения;

2 уточнение корня, т.е. вычисление его с заданной степенью точности.

При отделении корней уравнения общего вида (2.1) часто используется известная из курса математического анализа теорема Больцано - Коши:

пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е.

. Тогда существует такая точка x, принадлежащая интервалу , в которой функция обращается в нуль. Заметим, что корень будет единственным, если (или ) существует и сохраняет знак на рассматриваемом отрезке.

Остановимся более подробно на алгебраических уравнениях

. (2.2)

Верхнюю границу модулей корней уравнения (2.2) дает следующая теорема.

Пусть . Тогда любой корень x уравнения (2.2) удовлетворяет условию

. (2.3)

Допустим, что существует корень a уравнения (2.2), не удовлетворяющий условию (2.3), т.е.

. (2.4)

Из (2.4) следует, что

.

Тогда

Согласно (2.4)

и ,

что противоречит предположению о том, что a - корень уравнения (2.2).