Задачи линейной алгебры.

Основные понятия

Векторы и матрицы, сложение и умножение матриц, обратная матрица, разреженные матрицы (диагональные треугольные и ленточные матрицы), симметричные матрицы, транспонирование, скалярное умножение векторов.

Как отмечалось выше, численные алгоритмы линейной алгебры сводятся к последовательности арифметических операций с векторами и матрицами – элементами конечномерных векторных пространств и операторами. Напомним, что под вектором понимается конечная упорядоченная последовательность чисел (. В векторном пространстве определены следующие операции:

– сложение;

– умножение на скаляр;

– скалярное умножение[*].

Матрицей называется совокупность чисел , упорядоченных в виде прямоугольной таблицы размера :

Матрицу можно рассматривать также как упорядоченную совокупность векторов, образующих ее строки или столбцы. Индексы элемента определяют его позицию в k-той строке и m-том столбце (изменениям первого индекса соответствует изменению положения в столбце, а второго – положения в строке). Размерность матрицы указывает на то, что матрица имеет строк и столбцов соответственно. Если , то матрица называется квадратной и определяет оператор в N-мерном векторном пространстве.

Матрицы, существенная часть элементов которых равны нулю, принято называть разреженными. Существует несколько классов разреженных матриц специального вида, обладающих рядом полезных свойств с точки зрения матричных вычислений.

1. диагональные матрицы: , ;

2. нижние (левые) треугольные матрицы: , ;

3. верхние (правые) треугольные матрицы: ,. ;

4. ленточные матрицы: , ;

5. матрицы перестановок, вращений и отображений.

Операции умножения матрицы на скаляр и сложение матриц одинаковой размерности определяются аналогично соответствующим векторным операциям.

Операция умножения матриц сводится к вычислению скалярных произведений вектор-строк первого сомножителя на вектор-столбцы второго. В частности, произведением матрицы на матрицу является матрица , элементы которой вычисляются следующим образом

, , .

Произведение матрицы на вектор определяется аналогично умножению матриц соответствующих размерностей:

.

В матричном анализе часто фигурируют также операции обращения и транспонирования матриц. Матрица обратная заданной матрице называется такая матрица , для которой выполняется тождество

,

где – единичная матрица, все элементы которой, за исключением единичных значений на главной диагонали, равны нулю: . Матрицы, для которых существуют обратные, называются невырожденными. Матрица , транспонированная по отношению к заданной матрице , получается из исходной матрицы заменой ее строк на столбцы: . Если транспонированная матрица совпадает с исходной, то такие матрицы называют симметричными (симметрическими).

Основные задачи линейной алгебры состоят в решении систем линейных алгебраических уравнений и вычислении собственных векторов и собственных значений матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений состоит в вычислении неизвестного вектора удовлетворяющего равенству , для заданных вектора и матрицы . Проблема собственных векторов и собственных значений матрицы состоит в нахождении чисел , и соответствующих им векторов , для которых удовлетворяется равенство или . Множество всех собственных значений называется спектром матрицы, а максимальное по абсолютной величине собственное значение – спектральным радиусом.