Геометрический смысл и примеры плохой обусловленности матриц.

Геометрическую интерпретацию плохой обусловленности матриц полезно представить на примере системы двух уравнений.

(2.26)

Каждое их уравнений системы (2.26) можно трактовать как уравнение прямой на плоскости, и тогда решение рассмотренной системы определяется координатами точки пересечения данных прямых.

Тангенсы углов, образуемых прямыми с осью , соответственно равны

, .

Вычислим определитель матрицы системы (2.26) и покажем, что условие эквивалентно условию :

Таким образом, для системы двух уравнений равенство нулю определителя системы эквивалентно условию параллельности прямых, определяемых каждым из уравнений системы. Следовательно, если определитель равен нулю, то система (2.26) либо не имеет решений (параллельные прямые не пересекаются), либо имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают при ). Отличие от нуля определителя матрицы эквивалентно тому, что прямые не являются параллельными и имеют единственную точку пересечения, координаты которой и есть искомое решение системы.

Случай плохо обусловленной матрицы соответствует ситуации, когда угол между прямыми, определяемыми уравнениями системы, отличен от нуля, но является малым (прямые почти параллельны). Рассмотрим пример такой системы, полагая

. (2.27)

Несложно убедиться, что угол между прямыми, заданными уравнениями такой системы, составляет приблизительно рад., т.е прямые пересекаются под очень малым углом в точке . Данная точка соответствует точному решению задачи (на Рис. 2.1 обозначена круглым маркером).

Рассмотрим также возмущенную систему с вектором правой части , , . Первое уравнение и определенная им прямая остаются неизменными, а график второй прямой смещается вдоль оси вверх на расстояние . (см. Рис.2.1). Несмотря на малость смещения второй прямой, точка пересечения прямых перемешается с исходной позиции на весьма существенное расстояние: , . Учитывая неравенство (2.21), мы можем оценить снизу число обусловленности матрицы задачи:

. (2.28)

Истинное число обусловленности матрицы рассмотренной задачи и полученная оценка (2.28) в данном случае дает вполне реальное представление о характере обусловленности задачи. Однако, в большинстве случаев неравенство (2.21) дает существенно завышенную оценку относительной погрешности в силу чего неравенство (2.28) может приводить к катастрофической недооценке реального числа обусловленности.

В случае систем большей размерности геометрический смысл вырождения и плохой обусловленности матриц также как и в двумерном случае заключается в параллельной или близкой к параллельной ориентации некоторых гиперплоскостей, заданных отдельными уравнениями системы. Именно в таких ситуациях небольшие возмущение элементов матрицы или правой части системы вызывают серьезные изменения решения. Критическая ситуация возникает когда число обусловленности матрицы системы оказывается близким к обратной величине относительной погрешности представления действительных чисел в компьютерной арифметике. В таком случает сложно рассчитывать на получение решения задачи даже содержащее один верный знак.

Примером плохо обусловленной матрицы может служить матрица Гильберта

. (2.29)

Число обусловленности матрицы Гильберта быстро возрастает с ростом размерности и при превосходит , что делает практически невозможным численный анализ задач с использованием стандартного представления действительных чисел.