Метод вращений.

Наиболее эффективный подход к проблеме собственных значений основан на использовании преобразований подобия, позволяющих привести исходную матрицу к треугольному, диагональному или блочно-диагональному виду. Поскольку преобразование подобия не меняет спектр матрицы, то применение такого рода преобразований во многих случаях приводит к решению полной проблемы собственных значений. Наиболее эффективны преобразования подобия в случае симметричных матриц.

Однако во многих случаях достаточно предположить, что среди собственных значений матрицы отсутствуют кратные. В этом случае существует преобразование подобие, приводящее матрицу к диагональному виду.

Один из способов построения искомого преобразования подобия состоит в использовании элементарных матриц плоских вращений :

(4.10)

Матрица (для определенности пусть ) отличается от единичной матрицы только элементами и . Несложно убедиться, что матрицы являются ортогональными. В силу этого преобразования , называемое преобразованием плоских вращений, или преобразованием Гивенса, является преобразованием подобия. При умножении произвольной матрицы слева (или справа) на матрицу результирующая матрица отличается от исходной лишь элементами строк с номерами и (или столбцами с соответствующими номерами).

Полагая , рассмотрим произведения:

: ,

: .

Определим угол вращения таким образом, чтобы . С учетом последнего равенства данное условие приводит к выражению для угла :

.

Используя тригонометрические тождества, имеем:

, . (4.11)

При выбранном угле поворота преобразование в отношении симметричной матрицы обладает замечательным свойством. В результате данного преобразования уменьшается общая сумма квадратов недиагональных элементов результирующей матрицы. Многократное применение такого рода преобразования с матрицами вращения такими, что на текущем шаге приводит к сходимости последовательности матриц , к матрице диагонального вида, при этом на диагонали результирующей матрицы будут находиться приближенные значения собственных чисел исходной матрицы . Пример реализации метода вращений в среде Matlab приведен в Приложении.

Упражнения.

1. Показать, что при умножении имеет место тождество

.

Литература

1. А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. М., Наука, 1989.

2. В.В.Воеводин, Ю.А.Кузнецов. Матрицы и вычисления. М., Наука, 1984.

3. Д.К.Фадеев, В.Н.Фадеева. Вычислительные методы линейной алгебры. СПт. 2002.