Базовый МКЧ

МКЧ был разработан О.М. Белоцерковским и Ю.М.Давыдовым. И является модификацией метода частиц в ячейках Харлоу. Метод позволяет моделировать затопленные струи, отрывные зоны, различного рода турбулентные пульсации а также другие особенности внешнего и внутреннего стационарного и нестационарного течений.

Важными особенностями МКЧ являются простота и универсальность реализации, не требующая построения функциональных адаптивных сеток, а также простота алгебраической записи численных алгоритмов.

Рассмотрим расчетные соотношения МКЧ. Дифференциальные уравнения законов сохранения в дивергентной форме можно записать в виде: (здесь u = v_x, v = v_y)

= 0; (2.51)

; (2.52)

; (2.53)

. (2.54)

Система дополняется уравнением состояния газа в виде

,

где , - удельная внутренняя энергия.

Для расчета область моделирования покрывается эйлеровой расчетной сеткой в системе координат x-y с фиксированными прямоугольными ячейками со сторонами Dx, Dy. Для простоты и универсальности вычислений целесообразно принять Dx = Dy = Ds (рис.2.4). Выбрав значения шагов по пространству, следует назначить шаг по времени Dt. При этом необходимо руководствоваться значением сеточного числа Сu = аDt/Ds< 1. Для выполнения устойчивых вычислений необходимо выбирать такой шаг по времени, чтобы Сu = 0, 05-0, 10.

Опишем теперь отдельные этапы расчета, соответствующие представлению о расщеплении по физическим процессам.

Для расчета на первом, эйлеровом этапе не учитываются эффекты переноса, т.е. div (Yr ) = 0, где Y = {1, u, v, E}. В результате из уравнения неразрывности (2.51) получается

, (2.55)

т.е. плотность на данном этапе остается постоянной, и ее значение в уравнениях (2.52 –2.54) можно вынести из-под знака дифференциала в производной по времени. Преобразуя и раскрывая правые части, получим:

; (2.56)

; (2.57)

В соответствии с рекомендациями разработчиков метода следует принимать m = 0, 01, B = 2, 15.

.

Рис.2.4. Расчетная сетка, наложенная на обтекаемое тело, заштрихованы слои фиктивных ячеек

Записывая эту систему в конечных разностях с учетом обозначения С = Dt/Ds или, что то же самое, С = Сu/а, получим:

; (2.59)

; (2.60)

(2.61)

.

Параметры с дробными индексами, входящие в уравнения (2.59, 2.60) и относящиеся к границам ячеек, определяются как средние арифметические между значениями в примыкающих ячейках:

, . (2.62)

В некоторых формах записи уравнения (2.61) используются также значения

, . (2.63)

Далее следует второй, лагранжев этап, на котором определяются параметры переноса, соответствующие обмену между ячейками, когда происходит их перестройка в первоначальную эйлерову сетку. Необходимо найти потоки массы DМ за расчетный шаг Dt, например, для правой границы:

, если ³ 0 и (2.64)

, если < 0.

На заключительном, третьем этапе шага по времени происходит перераспределение массы, импульса и энергии по пространству и определяются окончательные поля эйлеровых параметров потока на фиксированной сетке в момент времени t ⁿ⁺¹ = t ⁿ + Dt. Соответствующие уравнения данного этапа являются выражениями законов сохранения массы M, импульса P и энергии E, записанные для ячейки в разностной форме:

; (2.65)

; (2.66)

. (2.67)

Здесь соответственно DМ_гр, DР_гр и DЕ_гр – масса газа, импульс и величина полной энергии, связанная с этой массой, которые прошли за время Dt одну из границ рассматриваемой ячейки. Очевидно, уравнения (2.65) – (2.67) записаны в предположении об отсутствии внутри ячейки источников массы, импульса и энергии.

Учитывая, что под действием перепада давлений на границах ячеек на первом этапе уже произошло изменение импульса, энергии, (масса не менялась), соответственно были получены значения промежуточных скоростей и энергии. Остается получить окончательные значения этих параметров в n+1 момент времени, уточненные за счет диффузионных процессов через границы ячеек:

; (2.68)

, (2.69)

где Х = (u, v, E).

Таким образом, все параметры получены, и можно переходить к следующему временному слою.

Описанная расчетная схема соответствует базовому представлению МКЧ и является явной схемой первого порядка точности.