Основные соотношения

На контактном разрыве резко изменяются плотность r и внутренняя энергия е. Эти значения слева от контактного разрыва обозначим R_I и E_I, справа – R_II и E_II. В областях I и II они постоянны. Внутри области, которую занимает волна разрежения, параметры течения вдоль лучей, выходящих из точки 0 и служащих характеристиками уравнений (1) – (3), не изменяются. При переходе от одной характеристики к другой параметры изменяются в соответствии с условиями непрерывности римановских инвариантов:

, (12)

где – скорость звука.

Квадратными скобками обозначена разность соответствующих значений на рассматриваемой характеристике. Знак “+” принимается для левой волны разрежения, распространяющейся в зону 1, “–” – для правой волны разрежения, распространяющейся в зону 2.

Формулы для левой и правой волн разрежения записываются следующим образом:

;

. (13)

Для ударной волны должны выполняться соотношения Гюгонио. Для левой и правой ударных волн эти зависимости имеют вид:

;

, (14)

где

;

.

Плотность

, (15)

где R, P – плотность и давление за ударной волной в областях I или II; r, p – соответствующие значения в зонах 1 или 2.

Зная параметры p₁, r₁, u₁ и p₂, r₂, u₂ из соотношений (13) и (14) можно определить значения P и U, учитывая, что значения P и U не рвутся на контактном разрыве. Зная P, можно определить плотности R_I и R_II. Однако при решении системы уравнений возникают некоторые трудности. Первая трудность заключается в том, что в общем случае заранее неясно, какая из изображенных на рис. 3 ситуаций в действительности реализуется и какие уравнения нужно положить в основу расчета. Вторая трудность связана с тем, что уравнения (13) и (14) нелинейны относительно P. Поэтому необходимо выбрать итерационный процесс для решения приведенных уравнений.

Исключим из уравнений (13) и (14) величину U и получим уравнение относительно P, которое записывается следующим образом:

, (16)

где при ударной волне

;

при волне разрежения

.

Рассмотрим случай, при котором (в случае можно изменить направление отсчета по оси х, что равносильно изменению индексов).

Вычислим значения функции F(P):

;

;

.

Если u₁ – u₂ > U_уд, то F(P) > F(p₂). Это значит, что и, следовательно, влево и вправо распространяются ударные волны.

Если U_раз < u₁ – u₂ < U_уд, то F(p₁) < F(P) < F(p₂) и p₁ < P < p₂. Это значит, что влево распространяется ударная волна, вправо – волна разрежения.

Если U_вак < u₁ – u₂ < U_раз, то P < p₁ < p₂, следовательно, влево и вправо распространяются волны разрежения.

При возникает область вакуума, в которой P = 0, R = 0.

Выполнив такой анализ, можно записать конкретный вид уравнения (16) и приступить к его численному решению. Когда влево и вправо распространяются волны разрежения, уравнение (16) решается в виде

.

В остальных двух случаях значение P определяется в результате итераций. Для этого можно воспользоваться итерационным процессом, в основу которого положен метод касательных.

По известному i-му приближению (p⁽ⁱ⁾) (i+1)-е приближение находится по формуле

,

где функция f определяется из выражения (16);

при

;

при P < p_{1, 2}

.

В качестве начального приближения в расчетах принимают P⁽⁰⁾ = p₁. После окончания итераций скорость U вычисляется по формуле, полученной из соотношений (12) и (13).

,

где при

;

при P < p_{1, 2}

.

Далее по формуле (15) вычисляется плотность в областях I и II. На этом решение задачи о распаде произвольного разрыва заканчивается. Теперь необходимо найти параметры течения, которые соответствуют лучу с координатой х = 0. Для этого нужно определить скорости, с которыми распространяются разрывы (ударные волны и волны разрежения).

Скорости распространения ударной волны влево и вправо:

;

.

Для волн разрежения необходимо вычислить скорости крайних характеристик:

где

Выражения для скоростей звука в области I и – в области II получены из формул (12). Скорость контактного разрыва равна вычисленному значению U. После решения задачи о распаде произвольного разрыва известно, какая из ситуаций, изображенных на рис. 3, осуществляется в действительности и, следовательно, можно определить, в какой из областей 1, I, II и 2 находится луч с х = 0. Если этот луч находится в области 1, то есть скорость левой крайней характеристики или левой ударной волны больше нуля, то u_n = u₁, p_n = p₁, r_n = r₁. Если луч х = 0 находится в области I, при этом U > 0, u_n = U, p_n = P, r_n = R_I. Когда U < 0 и скорости правых разрывов больше 0, то есть луч находится в области II, имеем u_n = U, p_n = P, r_n = R_II. Наконец, когда скорости крайней правой характеристики или правой ударной волны меньше нуля, то u_n = u₂, p_n = p₂, r_n = r₂.

При волнах разрежения возможны ситуации, когда луч попадает внутрь волны разрежения. Если этот луч попадает внутрь левой волны разрежения, то D₁ < 0 и . Если же луч х = 0 находится внутри правой волны разрежения, то D₂ > 0 и . В этом случае необходимо сделать дополнительные вычисления.

При u₁ – c₁ < 0 и U – c₁ > 0 искомые значения соответствуют характеристике, для которой ;

При u₂ + c₂ > 0 и аналогично имеем