Метод Эйлера. Метод Эйлера обеспечивает невысокую точность решения дифференциальных уравнений

Метод Эйлера обеспечивает невысокую точность решения дифференциальных уравнений. Но он весьма прост по содержанию и по реализации в электронных таблицах и математических пакетах. Кроме того, метод является основой для других, более точных методов.

Рассмотрим задачу Коши

y¢ =f(x, y); y(x₀)=y₀.

Для перехода от уже известной точки (х₀; у₀) к точке (х₁; у₁), х₁=х₀+h, в методе Эйлера применяется следующий алгоритм.

Разложим искомую функцию у(х) в ряд в достаточно малой h окрестности точки х₀:

(4.6)

Поскольку h мало, элементами ряда, содержащими h², h³, ….. можно пренебречь. Тогда из равенства получаем

Т.к. y¢ =f(x, y), то равенство (4.7) можем переписать

у(х₀+h) = y(x₀)+h× f(x₀, y₀)

Мы получаем следующую точку (x_{1 ;} y₁) функции у(х).Таким образом, любая точка интегральной кривой у(х) выражается через предыдущую по формуле

Такой метод решения ОДУ называется методом Эйлера. Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение отрезком касательной, проведённой к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, т.е. его точность растёт линейно с уменьшением шага h.

Пример. Рассмотрим один из вариантов оформления таблицы при решении задачи Коши методом Эйлера для уравнения

Это уравнение имеет аналитическое решение y = 1/(2 – sin x).

Поэтому у нас будет возможность оценить погрешность метода Эйлера, сравнивая полученное решение с точным.

Один из вариантов такого оформления решения задачи

a) в Excel

б) в Mathcad

Если построить графическое решение данного ДУ и сравнить его с точным, то можно заметить, что уже при небольших значениях i ошибка у_i существенна. Поэтому метод Эйлера на практике применяют очень редко.