Модифицированный метод Эйлера.

Значительная погрешность при решении задачи Коши методом Эйлера обусловлена тем, что в разложении (4.6) удерживаются лишь два первых члена. Очевидно что, чем больше слагаемых будет удержано, тем точнее получится решение задачи Коши. Однако, чтобы сделать это, надо знать вторую и производные более высоких порядков функции у(х). Мы можем приближенно вычислить вторую производную способом конечных разностей:

(4.9)

Тогда, подставляя (4.9) в (4.6) и отбрасывая члены, содержащие h³, h⁴ и т.д., получим:

или

(4.10)

В выражении неизвестным является . Её приближённо определяют как значение функции у*(х₀ + h), вычисленной по методу Эйлера. Тогда значение функции в следующей точке примет вид:

Обобщив эту формулу, получим

(4.11)

Чтобы проиллюстрировать работу модифицированного метода Эйлера, реализуем его для задачи, рассмотренной в примере 1.

а) в Excel

б) в Mathcad

Если сравнивать результат решения задачи, полученный модифицированным методом Эйлера, с предыдущими вычислениями, то вполне очевидно преимущество модифицированного метода. Однако погрешность метода все же достаточно велика: об этом можно судить, сравнивая полученное решение с точным.