![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение краевой задачи для дифференциального уравнения. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Пусть имеется дифференциальное уравнение второго порядка
Решение уравнения требуется найти на интервале [0; 1], причём известно, что у(0)=у0, у(1)=у1. Понятно, что произвольный интервал [a, b] заменой переменных Для решения краевой задачи обычно применяют метод стрельб, позволяющий свести решение краевой задачи к задаче Коши. Пусть k некоторый параметр, такой что y¢ (0)=k. Для некоторого пробного значения k может быть решена задача Коши, например, методом Рунге-Кутты. Мы хотим найти такое значение параметра, чтобы выполнялось условие y(1, k)=y1. Фактически мы свели исходную задачу к задаче решения трансцендентного уравнения с таблично заданной функцией. Если найдены такие значения параметра k 1 и k 2, что y(1, k1)> y1 и y(1, k2)< y1, то дальнейшее уточнение значения параметра можно проводить методом деления отрезка пополам. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения При значениях параметров Для решения краевой задачи имеется встроенная функция sbval, реализующая метод стрельб и позволяющая свести краевую задачу к задаче Коши. Функция sbval имеет следующие параметры: · v – вектор, содержащий начальные приближения для недостающих начальных условий, · xmin, xmax – границы интервала, на котором ищется решение, · D(x, y) – вектор–функция, содержащий правые части системы дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной исходному уравнению, размер вектора n совпадает со степенью старшей производной дифференциального уравнения · load(xmin, v) – вектор–функция, элементы которой соответствуют n значениям функций на левой границе интервала. Часть этих значений известна, а для части заданы начальные приближения в векторе v. Их уточненные значения будут найдены в процессе вычисления · score(xmax, y) – вектор–функция, имеющая то же число элементов, что и v. Каждое значение является разностью между начальными значениями в конечной точке интервала и соответствующей оценки для решения. Этот вектор показывает, на сколько близко найденное решение к истинному. Наша задача сводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка: Поэтому функция D имеет вид Задаем граничные условия: Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка содержит два начальных условия. Нам известно только одно. Начальное приближение для недостающего значения задаем в векторе v, который в нашем случае состоит только из одного элемента. Несмотря на это, индекс о должен быть обязательно указан, чтобы подчеркнуть векторный характер этой величины: На левой границе интервала нам известно значение Теперь, когда нам стало известно недостающее начальное условие в задаче Коши, можно воспользоваться, например, функцией rkfixed
|