Аппроксимация обыкновенных и частных производных с помощью разложения в ряд Тейлора и ее порядок.

Наиболее простые аппроксимационные выражения для производных функции f (x) получаются, когда в формуле (1) имеется только один член (т.е. когда m = k):

(2)

…

Оценим погрешность этих выражений. Для этого воспользуемся разложением в ряд Тейлора

f (x_i) = f (x) + f ¢ (x) (x_i - x) + f ¢ ¢ (x) (x_i - x)² / 2! + … + f ^(p)(x) (x_i - x) ^p / p! + …

Имеем

f (x ₀) = f (x) + f ¢ (x) (x ₀ - x) + f ¢ ¢ (x) (x ₀ - x)² / 2! + f ⁽³⁾(x) (x ₀ - x)³ / 3! + …

f (x ₁) = f (x) + f ¢ (x) (x ₁ - x) + f ¢ ¢ (x) (x ₁ - x)² / 2! + f ⁽³⁾(x) (x ₁ - x)³ / 3! + …

Отсюда

f (x ₁) - f (x ₀) = f ¢ (x) (x ₁ - x ₀) + f ¢ ¢ (x) [(x ₁ - x)² - (x ₀ - x)²] / 2! + …

+ …

С учетом этого,

Аналогично можно показать, что

Исследуем точность выражения k -той производной функции f (x), определяемой формулой (1), т.е. когда

Имеем

Аппроксимация полиномом (m +1)-го порядка точнее, чем полиномом m -го. Поэтому в качестве погрешности равенства можно принять последнее слагаемое этого выражения. Если шаг таблицы достаточно мал, то можно записать

= £

£ »

т.е. » =

= » ,

где x ₀ £ x £ x_m.

Учитывая, что | x - x_i | £ | x_m - x ₀| = m h, можно записать

= £

£ m^{m +1- k} h^{m +1- k} = O(h^{m +1- k})

С учетом этого получаем £ O(h^{m +1- k})

Таким образом, порядок точности формулы (1) по отношению к шагу h равен числу узлов интерполяции m +1 минус порядок производной k. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления k -й производной, равно k +1. В этом случае имеем формулы (2), аппроксимирующие производные с первым порядком точности. Эти выводы соответствуют общему принципу: при почленном дифференцировании ряда скорость его сходимости уменьшается.