Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными

Аппроксимация дифференциальных уравнений разностными заключается в том, что каждая производная, входящая в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяется (аппроксимируется) каким-либо разностным отношением. Такая замена осуществляется во всех внутренних узлах сетки и на границе сеточной области.

Аппроксимация производных не является однозначной. Ее можно осуществлять, применяя интерполяционные полиномы. И в этом случае она не однозначна. Например, учитывая, что

, , ,

и что w_ij» u_ij, производную можно заменить следующими тремя разностными отношениями (h = x_{i +1} - x_i - также конечная разность):

(разностное отношение «вперед»),

(разностное отношение «назад»),

(центральное разностное отношение)

Аналогично для производной можно принять

, , .

Следуя такой же логике, частные производные второго порядка можно записать в виде

, .

В этом случае уравнение Лапласа (1) в узле ij заменится следующим разностным уравнением

.

Использованный при получении данного равенства шаблон носит название «пятиточечный шаблон крест».

Погрешность разностного уравнения, аппроксимирующего дифференциальное, определяется путем замены в разностном уравнении функции w_ij (приближенное численное решение) на функцию u_ij (точное численное решение) и последующей оценкой невязки y _h полученного таким образом выражения с выражением дифференциального оператора в узле ij в рамках какой-либо сеточной нормы. В рассматриваемом случае уравнения Лапласа имеем

® ,

y _ij =

|| y _h || = = O(h ² + l ²)

Таким образом, схема крест для уравнения Лапласа имеет второй порядок аппроксимации относительно шагов сетки в обоих направлениях.