Понятие конечных разностей функции.

Задание функции y = f(x) в виде набора пар чисел (x_i, y_i) называется табличным заданием функции

Значения x₀, x₁, …, x_n называются узлами таблицы.

Таблицы бывают с постоянным и переменным шагом. Если таблица имеет постоянный шаг, то

x₁ – x₀ = x₂ – x₁ = … = x_n – x_n-1 = h

x_i = x₀ + ih, i = 0, 1, 2, …, n

Если таблица имеет переменный шаг, то

x₁ – x₀ ≠ x₂ – x₁ ≠ … ≠ x_n – x_n-1

Для таблиц с постоянным шагом вводится понятие конечных разностей. Для нахождения конечных разностей можно воспользоваться следующей схемой:
для вычисления значений в i строке следующего столбца таблицы нужно вычесть из числа, стоящего в i +1 строке, число, стоящее в i строке в предыдущем столбце.

Где

∆ Y_i=Y_i+1-Y_i конечная разность первого порядка

∆ ²Y_i=∆ Y_i+1-∆ Y_i конечная разность второго порядка

∆ ³Y_i=∆ ²Y_i+1-∆ ²Y_i конечная разность третьего порядка и т.д.

Пример1: функция f(x) задана таблично. Составить конечные разности.

Пример2: Для некоторой функции известна таблица ее значений
.
Тогда конечная разность равна … Решение:

Эта схема соответствует формуле.
Тогда получим:



.

• Дана таблица для вычисления конечных разностей некоторой функции:
  . Конечная разность равна …
• Для некоторой функции известна таблица ее значений
  .
  Тогда конечная разность равна …0, 1
• Для некоторой функции известна таблица ее значений .
  Тогда конечная разность равна …