Интерполяционные формулы

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Функция может быть интерполирована на отрезке интерполяционным многочленом , записанным в форме Лагранжа:

Интерполяционная формула Ньютона

Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так:

(здесь , а — разности k-го порядка: ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . Если требуется найти значение производной данной функции
в некоторой точке, то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией для которой и найти производную функции
Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой

Пример1.Некоторая функция задана в виде таблицы
Найдите …

Решение:
Напоминаем, что
, где .
Тогда .
;

.
.

Пример2 Некоторая функция задана в виде таблицы
Для заданной в виде таблицы функции значение … Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Решение:
Напоминаем, что
где
Тогда

• Некоторая функция задана в виде таблицы
  где и Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции значение …0, 76
• Некоторая функция задана в виде таблицы
  
  Для заданной в виде таблицы функции значение …0, 56
• Некоторая функция задана в виде таблицы
  
  Для заданной в виде таблицы функции значение …2, 58

ИТОГОВЫЙ ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «Основные численные методы»

1. Если число 2, 5 округлить до 3, тогда относительная погрешность полученного приближенного числа будет равна:

1) 0, 5 2) 0, 2 (и) 3) -0, 2 4) -0, 5

2. Вычислили значение функции при и получили результат равный 800. Известны относительные погрешности чисел 10 и 2: Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

1) 0, 01 2) 0, 06 3) 0.05 (и) 4) 0, 02

3. Абсолютная погрешность округления с избытком числа 1, 8 до целых равна:

1) -0, 2 2) 0, 1 3) 0 4) 0, 2 (И)

4. Приближённое значение интеграла , вычисленное по формуле прямоугольников

Где , , равно:

1) 5 2) 10 (и) 3) 15 4) 12, 5

5. По таблице функции составлена таблица конечных разностей:

Тогда приближённое значение производной функции где , в точке , равно:

1) 2 (и) 2) 3 3) 1 4) 4

6.. Некоторая функция задана в виде таблицы
Если требуется найти значение производной данной функции
в некоторой точке, то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией для которой и найти производную функции
Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой

где и Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции значение …

1) –1, 22 2) 0, 52 3) 0, 60 4) 0, 68 (и)

7. Если последовательные значения функции, являющейся решением задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями , , находятся по методу Эйлера , то , определяемое уравнением , при и шаге , равно:

1) 2 2) 1, 1 (и) 3) 1, 2 4) 1, 3

8. Конечная разность первого порядка функции при начальном значении и шаге равна:

1) 1 2) 2 (и) 3) 3 4) -2

9. Первое приближение к значению корня уравнения , расположенного на отрезке , полученное методом хорд по формуле , где а и b –концы отрезка , равно:

1) 0, 5 2) 0, 2 (и) 3) -0, 2 4) 0, 25

10. Приближенное значение интеграла , вычисленное по формуле прямоугольников , где , , , , равно:

1) 24 2) 22, 5 3) 27 4) 20 (И)

11. Приближенное значение функции , вычисленное с помощью дифференциала, при равно:

1) 3, 2 2) 0, 02 3) 2, 98 4) 3, 02 (И)

12. Если последовательные значения функции, определяемой дифференциальным уравнением , находятся по методу Эйлера , то , определяемое уравнением , при , и шаге , равно:

1) 6 2) 1,! 3) 5 4) 1, 5 (И)

13. Вычислили значение функции при и получили результат равный 5.
Известны относительные погрешности чисел 10 и 20:
Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

1) 0, 04 (и) 2)0, 03 3) 0, 02 4) 0, 01

14.Некоторая функция задана в виде таблицы
Если требуется найти значение производной данной функции
в некоторой точке, то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией , для которой и найти производную функции
Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой

где и Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции значение …

1) -0, 36 2)0, 64 3) 0, 70 4) 0, 76 (и)

14. Воспользоваться методом Эйлера:
.
Тогда для уравнения при начальном условии с шагом
h = 0, 1 значение с точностью до сотых равно …

1) 2, 90 2) 3, 00 (и) 3) 2, 40 4) 1, 26

15. Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции
на интервале можно воспользоваться формулой трапеций

Интервал разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения .

Тогда …

1) 1, 86 2) 0, 18 3) 2, 08 4) 0, 74 (и)

16. При вычислении значения выражения данные в условии задачи значения и округлили до целых и получили: Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна …

1) 1 (и) 2) 0.3 3) 0, 2 4) 0, 8

17. Для некоторой функции известна таблица ее значений . Тогда конечная разность равна … 1) 0, 2 (и) 2)-0, 2 3) -0, 4 4) 0 18. Для приближенного решения дифференциального уравнения с начальным условием можно воспользоваться методом Эйлера: . Тогда для уравнения при начальном условии с шагом и точностью до десятых равно … 1) 2, 80 2) 1, 60 3) 4, 85 4) 3, 61 (и)   19. Известно, что ребра прямоугольного параллелепипеда равны 103 см, 21 см и 98 см. Для упрощения вычислений эти числа округлили до 100 см, 20 см и 100 см соответственно. Нашли объем: (куб. см.) Полученный результат имеет относительную погрешность, равную … 1) 0, 01 2) 0, 02 3) 0, 1 (и) 4) 0, 5 20. Для приближенного вычисления значения функции y (x) в точке можно использовать формулу где приращение функции в точке Функция y (x) определяется из условия задачи. Значения и выбираются так, чтобы можно было вычислить и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения равно … 1) 2) (и) 3) 4) 21. Для вычисления объема куба было измерено линейкой его ребро. Оно оказалось равным 10 см. Известно, что погрешность измерения линейкой равна 0, 5 см. Объем куба будет . Тогда относительная погрешность полученного результата равна … 1) 0, 01 2) 0, 03 3)0, 05 4) 0, 15 (и)

22. Для приближенного решения дифференциального уравнения с начальным условием можно воспользоваться методом Эйлера: .
Тогда для уравнения при начальном условии с шагом h = 0, 1 и точностью до десятых равно …

1) 2, 19 2) -2, 54 3) 2, 40 (и) 4) -2, 80

23. Некоторая функция задана в виде таблицы
Если требуется найти значение производной данной функции
в некоторой точке то можно заменить данную, аналитическая запись которой неизвестна, некоторой другой функцией для которой и найти производную функции
Если шаг таблицы h (разность между соседними значениями x) является величиной постоянной, то можно воспользоваться формулой
, где и . Вычисления производите с двумя знаками после запятой. Для заданной в виде таблицы функции значение …

1) -2, 22 2) 0, 44 (и) 3) 0, 76 4) 3.40

24. Для приближенного вычисления определенного интеграла от функции на интервале можно воспользоваться формулой трапеций Интервал разбили на 4 равные части и вычислили соответствующие приближенные значения функции . Получили: , тогда …

1) 0, 23 (и) 2) 0, 92 3) 0, 02 4) 1, 04