Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Лабораторная работа № 2
|
|
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Цель работы: Получение навыков использования методов интерполирования функции.
Задача интерполирования ставится в следующей форме: найти многочлен 
степени не выше 
, значение которого в заданных точках 
, 
совпадают заданными значениями данной функции 
, 
.
Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую вида 
, проходящую через заданную систему точек 
, (рис. 7).
Многочлен 
называется интерполяционным многочленом, а точки , узлами интерполяции. Интерполяционные многочлены обычно используются для нахождения неизвестных значений 
при промежуточных значениях аргумента. При этом различают задачу интерполирования, когда 
находится между 
и 
, и экстраполирования, когда находится вне отрезка 
.
Y
0 x0 x1 x2 xn X
Рис. 7.
Узлы интерполяции называются равноотстоящими, если 
. Конечными разностями функции называются разности вида:
разность первого порядка,
разность второго порядка,
....................
.....................
разность 
-1 – го порядка,
разность - го порядка.
В табл. 3 приведены конечные разности до 
Таблица 3
| x | y | 
| 
| 
| 
| 
|
| x 0 | y 0 | 
| 
| 
| 
| 
|
| x 1 | y 1 | 
| 
| 
| 
| |
| x 2 | y 2 | 
| 
| 
| ||
| x 3 | y 3 | 
| 
| |||
| x 4 | y 4 | 
| ||||
| x 5 | y 5 |
Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид
,
где 
.
В этой формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы разностей. Остаточный член 
этой формулы имеет вид
,
где 
- некоторая точка промежутка, содержащего все узлы интерполирования и точку .
Первая формула Ньютона используется для интерполирования и экстраполирования в точках , близких к начальной точке таблицы .
Для точек , близких к конечной точке таблицы используя вторую интерполяционную формулу Ньютона
, где 
.
Остаточный член этой формулы
.
Во второй формуле Ньютона используется нижняя наклонная строка конечных разностей (см. табл. 3).
Для неравноотстоящих узлов интерполирования 
используется интерполяционная формула Лагранжа.
с остаточным членом
.
Выражения
называются коэффициентами Лагранжа.
Иногда бывает полезным для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если 
, 
, 
то 
.
В случае равноотстоящих узлов имеются таблицы лагранжевых коэффициентов.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с методами интерполирования функции.
2. Ознакомиться с инструкцией к ПДП.
3. Ознакомиться с методом использования ПДП для нахождения интерполяционных многочленов на демонстрационных примерах.
Таблица 4
| № вар. | b | y 0 | y 1 | y 2 | y 3 | y 4 |
| 4.4 | -14.6 | 1.1 | 0.7 | 13.5 | 5.6 | |
| 4.8 | 8.6 | -12.2 | -2.8 | 2.7 | -5.3 | |
| 5.2 | -9.0 | 9.1 | -0.2 | -10.4 | -12.1 | |
| 5.6 | 4.3 | -1.3 | 4.7 | 0.2 | -13.6 | |
| 6.0 | -3.6 | 12.1 | 4.9 | 7.9 | -7.4 | |
| 6.4 | 4.6 | 0.2 | -6.5 | 11.4 | -7.9 | |
| 6.8 | -9.5 | -1.4 | -9.0 | -1.0 | -13.6 | |
| 7.2 | -11.8 | 11.9 | -12.6 | -2.6 | 7.4 | |
| 7.6 | -1.1 | 4.8 | 5.4 | 2.3 | 14.8 | |
| 8.0 | -7.9 | 5.4 | 12.3 | -10.9 | -2.7 | |
| 8.4 | 9.2 | 2.3 | -6.0 | -1.3 | 14.2 | |
| 8.8 | 8.3 | 1.1 | 8.9 | -5.5 | -11.3 | |
| 9.2 | -11.2 | -11.9 | -9.8 | -2.7 | -14.2 | |
| 9.6 | 6.8 | 8.1 | -13.4 | -13.9 | -11.9 | |
| 10.0 | 12.8 | 3.9 | -11.2 | -1.4 | 9.9 | |
| 10.4 | 10.7 | -13.7 | -5.5 | -1.8 | 9.5 | |
| 10.8 | -9.4 | -12.8 | -8.7 | -0.4 | 1.1 | |
| 11.2 | -11.2 | -4.5 | 10.0 | 5.5 | -14.2 | |
| 11.6 | -10.2 | 13.0 | 8.4 | 0.1 | 8.4 | |
| 12.0 | -13.9 | -8.6 | 11.1 | 11.9 | 1.2 |
4. Для заданной таблично функции построить все возможные интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа максимальной степени, пригодные для определения значения функции в указанных промежуточных точках 
. Варианты задания выбрать из табл. 4. Для всех вариантов 
, 
, 
, 
, 
.
5. Вычислить значения функции в указанных промежуточных точках, используя найденные многочлены. Сравнить значения, полученные по разным интерполяционным формулам.
6. Результаты вычисления занести в табл. 5.
Таблица 5
| i |
| 
| Вид многочлена |
| (1-я Ньютона n=4) | |||
| (Лагранжа) | |||
| (1-я Ньютона n=3) | |||
| (2-я Ньютона n=2) | |||
| (Лагранжа) | |||
| . | ………. | ………………………………………………… |
ОТЧЕТ О РАБОТЕ
Отчет должен содержать:
1. Таблицу значений заданной функции и обоснование выбора степени многочленов для промежуточных точек.
2. Найденные интерполяционные многочлены.
3. Значения функции в промежуточных точках, вычисление с помощью найденных многочленов.
4. Мотивированный вывод об окончательном выборе значения функции в промежуточных точках.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как ставится задача интерполяции?
2. В чем отличие интерполирования от экстраполирования?
3. Какие формулы используются для интерполирования в равноотстоящих узлах, а какие в неравноотстоящих?
4. Что такое узлы интерполяции?
5. Чем отличаются первая и вторая формулы Ньютона?
ЛИТЕРАТУРА [1, c.46-84]; [3, c.497-540]; [6, c.149-165].