Лабораторная работа № 5. Цель работы: Получение навыков использования численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы: Получение навыков использования численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Общий вид дифференциального уравнения

, (1)

Нормальная форма дифференциального уравнения

, (2)

где y=y (x) -неизвестная функция, подлежащая определению, f (x, y) - правая часть дифференциального уравнения в нормальной форме, равная первой производной функции y (x). В функцию f (x, y) помимо аргумента x входит и сама неизвестная функция y (x).

Если неизвестная функция у зависит от одного аргумента x, то дифференциальное уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения является семейство функций у=у (х, с) рис.1:

Рис. 11.

При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:

, (3)

т.е. начальной точки с координатами (х₀, у₀).

Нахождение частного решения дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши.

В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (2) и начальному условию (3) на отрезке [ a, b ] с шагом h.

На графике (рис.2) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых точек с координатами (x_i, y_i), .

Рис. 12.

Наиболее эффективными и часто встречаемыми методами решениями задачи Коши являются методы Рунге – Кутта. Они основаны на аппроксимации искомой функции у (х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у (х) в окрестности шага h каждой i -ой точки в ряд Тейлора:

, (4)

Усекая ряд Тейлора в различных точках и отбрасывая правые члены ряда, Рунге и Кутт получали различные методы для определения значений функции у (х) в каждой узловой точке. Точность каждого метода определяется отброшенными членами ряда.

Метод Рунге – Кутта 1-го порядка (метод Эйлера)

Отбросим в (12.4) члены ряда, содержащие h², h³, h⁴….

Тогда

Так как

Получим формулу Эйлера:

, (5)

Так как точность методов Рунге-Кутта определяется отброшенными членами ряда (4), то точность метода Эйлера на каждом шаге составляет .

Рассмотрим геометрический смысл метода Эйлера.

Формула Эйлера имеет вид:

,

где .

Тогда формула Эйлера принимает вид:

где - тангенс угла наклона касательной к искомой функции у (x) в начальной точке каждого шага.

Рис. 13. Геометрический смысл метода Эйлера

В результате в методе Эйлера на графике (рис. 3) вся искомая функция y (x) на участке [ a, b ] аппроксимируется ломаной линией, каждый отрезок которой на шаге h линейно аппроксимирует искомую функцию. Поэтому метод Эйлера получил еще название метода ломаных.

В методе Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага считается постоянным и равным значению производной в начальной точке шага x_i. В действительности производная, а, значит, и тангенс угла наклона касательной к кривой y (x) в пределах каждого шага меняется. Поэтому в точке x_i+h наклон касательной не должен быть равен наклону в точке x_i. Следовательно, на каждом шаге вносится погрешность.

Первый отрезок ломаной действительно касается искомой интегральной кривой y (x) в точке (x₀, y₀). На последовательных же шагах касательные проводятся из точек (x_i, y_i), подсчитанных с погрешностью. В результате с каждым шагом ошибки накапливаются.

Основной недостаток метода Эйлера – систематическое накопление ошибок. Поэтому метод Эйлера рекомендуется применять для решения дифференциальных уравнений при малых значениях шага интегрирования h.

Метод Рунге – Кутта 2-го порядка (модифицированный метод Эйлера)

Отбросим в (4) члены ряда, содержащие h₃, h₄, h₅ ….

Тогда

. (6)

Чтобы сохранить член ряда, содержащий h², надо определить вторую производную y" (x_i). Ее можно аппроксимировать разделенной разностью 2-го порядка

.

Подставляя это выражение в (6), получим

.

Окончательно, модифицированная или уточненная формула Эйлера имеет вид:

. (7)

Как видно, для определения функции y (x) в точке i+ 1 необходимо знать значение правой части дифференциального уравнения f (x_{i+ 1}, y_{i+ 1}) в этой точке, для определения которой необходимо знать предварительное значение y_{i+ 1}.

Для определения предварительного значения y_{i+ 1} воспользуемся формулой Эйлера. Тогда все вычисления на каждом шаге по модифицированной или уточненной формуле Эйлера будем выполнять в два этапа:

На первом этапе вычисляем предварительное значение по формуле Эйлера

На втором этапе уточняем значение y_i+1 по модифицированной или уточненной формуле Эйлера

Точность метода определяется отброшенными членами ряда Тейлора (4), т.е. точность уточненного или модифицированного метода Эйлера на каждом шаге