Применение метода простой итерации к решению

Пусть задано уравнение f(x) = 0 на отрезке [a; b]. Сводя задачу к уже решённой в предыдущем параграфе, достаточно представить это уравнение в виде h(x) = x со сжимающей функцией h: [a; b] ® [a; b]. Имеем f(x) = 0 Û (x – A·f(x)) = x, где A – ненулевая константа. Таким образом, можно считать, что h(x) = x – A·f(x) и нужно теперь так подобрать постоянную A, чтобы выполнялось условие сжимаемости отображения h.

Для простоты будем предполагать, что функция f дважды непрерывно дифференцируема на [a; b] и для неё выполнена локализация корня так, что f монотонна и неизменно выпукла на [a; b], причём f(a)·f(b) < 0. Будем пользоваться выводами предыдущего параграфа, формулируя их в терминах функции f.

Вначале подберём константу A так, чтобы функция h стала неубывающей: h¢ (x) = 1 – A·f¢ (x) ³ 0 Û A·f¢ (x) £ 1. Если f возрастает, то f¢ (x) > 0 и A £ при любом x Î [a; b], т.е. A £ . Если же f убывает, то f¢ (x) < 0, А ³ при любом x Î [a; b], т.е. A ³ . Величина | f¢ (x)| в условиях неизменной выпуклости функции f на отрезке [a; b] вычисляется легко: | f¢ (x)| = max{|f¢ (a)|, |f¢ (b)|}, причём |f¢ (a)| получается при f¢ ·f¢ ¢ < 0, а | f¢ (b)| – при f¢ ·f¢ ¢ > 0.

Теперь воспользуемся результатами предыдущего параграфа:

1. условие h([a; b]) Í [a; b]:

3. Коэффициент сжатия: с = 1 – при f¢ ·f¢ ¢ ³ 0, и с = 1 – , если f¢ ·f¢ ¢ £ 0.

4. Вычисляем начальное приближение x₀: x₀ = , если f¢ ·f¢ ¢ ³ 0 (можно просто x₀ = b), и x₀ = (или x₀ = a), если f¢ ·f¢ ¢ £ 0.

5. Выполняем итерации: x_n+1 = x_n – A·f(x_n) (n Î N ).

6. Останавливаем вычисления при n = или при одновременном выполнении условий |x_n+1 – x_n| £ D, |f(x_n)| £ D, где D – заданная погрешность.

Замечание: Если для выхода не вычисляется величина n, то коэффициент сжатия c вычислять нет необходимости. Это можно сделать в модельных примерах для контроля правильности вычислений.

Полученные выводы о методе простой итерации для уравнения f(x) = 0 систематизированы в приложении (таблица III).

Примеры: 1. Уточнить методом простой итерации корень уравнения e^x–1 – 2·x = 0 на отрезке [0; 0, 9] с точностью до 0, 001.

Здесь f(x) = e^x–1 – 2·x имеет корень на [0; 9], т.к. f(0) = e^–1 > 0, f(0, 9) = e^{–0, 1} – 1, 8 < 0. Производная f¢ (x) = e^x–1 – 2 отрицательна на отрезке [0; 0, 9], т.к. f¢ (0, 9) = e^{–0, 1} – 2 < 0 и f¢ (x) возрастает: f¢ ¢ (x) = e^x–1 > 0. Поэтому можно применить метод простой итерации.

1. Ясно, что f¢ < 0, f¢ ¢ > 0, f¢ ·f¢ ¢ < 0.

2. Составляем уравнение h(x) = x, где h(x) = x – A·(e^x–1 – 2·x) и величина A = – » –0, 6127.

3. Коэффициент сжатия: c = » 0, 3873.

4. Выбираем начальное приближение x₀ = 0 (без уточнения).

5. Производим итерации x_n+1 = x_n + 0, 6127·f(x_n) (n Î N ), пока либо |x_n+1 – x_n| > 0, 001, либо |f(x_n)| > 0, 001:

Таким образом, приближённое значение корня 0, 232.

Если применить уточнение корня, взяв x₀ = »» –0, 2254, то итераций потребуется меньше.

2. Уточнить корень уравнения sin 2·x – ln x = 0 на отрезке [1, 2; 1, 5] с точностью до 0, 001.

Имеем: f(x) = sin 2·x – ln x, f¢ (x) = 2·cos 2·x – . Ввиду неравенств < 2, 4 £ 2·x £ 3 < p величина cos 2·x на [1, 2; 1, 5] отрицательна, значит f¢ < 0, f убывает на [1, 2; 1, 5]. Кроме того, f(1, 2)» 0, 675 – 0, 082 > 0, f(1, 5)» 0, 141 – 0, 405 < 0, так что f имеет на рассматриваемом отрезке единственный корень.

Далее, f¢ ¢ (x) = –4·sin 2·x + и sin 2·x убывает на [1, 2; 1, 5]. При этом 0, 5645» 4·sin3 £ 4·sin2·x £ 4·sin2, 4» 2, 7019 и 0, 4444» £ £ » 0, 6944. Значит, f¢ ¢ < 0 и можно применить метод простой итерации для уточнения корня.

Ясно, что f¢ < 0, f¢ ¢ < 0, f¢ ·f¢ ¢ > 0.

1. Составляем уравнение h(x) = x, где h(x) = x – A·(sin 2·x – ln x), с коэффициентом » – 0, 3778.

2. Вычисляем коэффициент сжатия

» 0, 1279.

3. Выбираем начальное приближение x₀ = 1, 5 (без уточнения).

4. Производим итерации x_n+1 = x_n + 0, 3778·f(x_n) (n Î N ), пока верно |x_n+1 – x_n| > 0, 001 или |h(x_n+1) – x_n | > 0, 001:

Таким образом, приближённое значение корня 1, 400.

Уточнив приближение x₀ = » 1, 4001, и вычислив x₁ = h(x₀)» 1, 3994, получим |x₁ – x₀| = 0, 0007 < 0, 001, так что итераций не требуется.

Замечание: Можно показать, что методы хорд и касательных являются (в достаточно малой окрестности корня) частными случаями метода простой итерации: достаточно уравнение f(x) = 0 заменить уравнением x – j(x)·f(x) = x. Для метода касательных нужно взять j(x) = , а для метода хорд j(x) = .