Матричные нормы

Множество M(n, R ) всех квадратных n´ n- матриц над полем действительных чисел, как известно, образует векторное пространство размерности n², которое можно отождествить с R . Поэтому можно определить следующие нормы на M(n, R ):

|| A || ₂ = , || A || _¥ = , || A || ₁ = ,

где A = (a_ij) – квадратная n´ n- матрица с компонентами a_ij (1 £ £ n). Вопрос о том, почему эти нормы обозначены аналогично введённым выше векторным нормам, но некоторые из них выглядят иначе, будет обсуждаться позднее.

Примеры: 1. Для матрицы A = получаем

|| A || ₂ = , || A || _¥ = max{|–1| + |2|, |3| + |5| } = 3,

|| A || ₁ = max{|–1| + |3|, |2| + |5|} = 4.

2. Для единичной матрицы I = любого порядка значения всех рассматриваемых норм равны 1.

Оказывается, что эти нормы, определённые для матриц в векторном пространстве, тесно связаны с умножением матриц:

" A, B Î M(n, R ) || A·B || £ || A || · || B ||.

Это легко проверить для ||·|| _¥ : если C = A·B, то c_ij = и . Поэтому || C || _¥ = £ || A || _¥ · || B || _¥ .

Для нормы || · ||₁ вычисления аналогичны. В случае ||·|| ₂ нужно проверить неравенство , справедливость которого можно уяснить, воспользовавшись неравенством Коши-Буня­ков­ского-Шварца – модуль скалярного произведения векторов не превосходит произведения их длин: . Поэтому

Есть другой, более общий, подход к определению матричных норм. Если задана некоторая векторная норма ||·|| в векторном пространстве ⁿR всех столбцов длины n, то единообразно можно определить связанную с ней матричную норму || A || = sup{ || A· x || Î R | x Î ⁿR, || x || = 1}. Этот супремум конечен, т.к. множество { x Î ⁿR | || x || = 1} ограничено и замкнуто, так что непрерывная функция || A· x || на нём достигает максимума.

Теорема (о матричной норме). Если в пространстве ⁿR задана норма ||·||, то формула || A || = sup{ || A· x || Î R | x Î ⁿR, || x || = 1} определяет матричную норму, т.е. отображение ||·||: M(n, R ) ® R со свойствами:

(Н1): " A Î M(n, R) || A || ³ 0 Ù ( || A || = 0 «A = 0)

(Н2): " l Î R " A Î M(n, R) || l·A || = |l|· || A ||

(Н3): " A, B Î M(n, R) || A + B || £ || A || + || B ||

(Н4): " A, B Î M(n, R) || A·B || £ || A || · || B ||.

При этом " x Î ⁿR || A· x || £ || A || · || x ||.

Доказательство. Для краткости будем писать sup{ || A· x || } вместо sup{ || A· x || Î R | x Î ⁿR, || x || = 1}.

(Н1): Условие || A || ³ 0 очевидно. Кроме того,

( || A || = 0) Û (sup{ || A· x || } = 0) Û (" x Î ⁿR || A· x || = 0) Û

Û (" x Î ⁿR A· x = 0) Û A = 0.

(Н2): || l·A || = sup{ || l·A· x || } = sup{|l|· || A· x || } = |l|·sup{ || A· x || } = |l|· || A ||.

(Н3): || A + B || = sup{ || (A + B)· x || } = sup{ || A· x +B· x || } £ sup{ || A· x || + || B· x || } £ £ sup{ || A· x || } + sup{ || B· x || } = || A || + || B ||.

Докажем теперь неравенство " x Î ⁿR || A· x || £ || A || · || x ||. Оно очевидно для x = 0. Если x ¹ 0, то для y = имеем || y || = = 1, поэтому || A || = sup{ || A· z || | || z || = 1} ³ || A· y || = , откуда и следует, что || A· x || £ || A || · || x ||.

(Н4): || A·B || = sup{ || (A·B)· x || } = sup{ || A·(B· x ) || } £ sup{ || A || · || B· x || } = = || A || ·sup{ || B· x || } £ || A || ·sup{ || B || · || x || } = || A || · || B || ·sup{ || x || | || x || = 1} = || A || · || B ||.

Теорема доказана.

Упражнения: 1. Докажите, что по любой матричной норме можно построить векторную норму: именно по ||·||: M(n, R ) ® R определяется норма ||·||: ⁿ R ® R по правилу || x || = ||( x … x )||, где ( x … x ) Î M(n, R ) – матрица, полученная n- кратным повторением столбца x Î ⁿ R.

2. Докажите, что модуль |l| Î R любого собственного числа матрицы A Î M(n, R ) не превосходит произвольной нормы ||A|| матрицы A.

3. Докажите, что формула

||A|| = max{|l| Î R | l Î C – собственное число матрицы А}

Определяет матричную норму.

Оказывается, что описанным в теореме о матричных нормах путём по нормам ||·|| ₂, ||·|| _¥ и ||·|| ₁ в ⁿR можно получить рассмотренные выше соответствующие нормы матриц. Доказывать это не будем.

Ввиду тесной связи нормы ||·|| в банаховом пространстве с индуцированной метрикой r( x, y ) = || x – y || теорему о неподвижной точке сжимающего отображения можно переформулировать и для банаховых пространств:

Теорема (о неподвижной точке сжимающего отображения). Пусть в банаховом пространстве B с нормой ||·|| определено сжимающее отображение f: B ® B, т.е. $ c Î [0; 1) " x, y Î B || f( x ) – f( y ) || £ c· || x – y ||. Тогда у него существует единственная неподвижная точка x Î B: f( x ) = x. Эта неподвижная точка может быть получена, например, как предел последовательности { x_n }_{n Î N}, где x₁ = f( x₀ ), x_n+1 = f( x_n ), а x₀ – произвольный элемент из B. При этом

|| x_n+1 – x || £ c·|| x_n – x ||, || x – x_n || £ .

Важным для приложений является случай сжимающего линейного оператора, т.е. сжимающего отображения f: B ® B, удовлетворяющего условию линейности " a, b Î R " x, y Î B f(a· x + b· y ) = a·f( x ) + b·f( y ).

Теорема (о сжимающих линейных операторах). Линейный оператор f: B ® B является сжимающим тогда и только тогда, когда $ с Î [0; 1) " x Î B || f( x ) || £ c· || x ||. Сжимающий линейный оператор имеет единственную неподвижную точку: 0 Î B. Если f – сжимающий линейный оператор, то линейный оператор e – f: B ® B, где e – тождественное отображение, инъективен.

Доказательство. Если оператор сжимающий, то при y = 0 из условия сжимаемости получим || f( x ) – f(0) || £ c· || x – 0 ||, т.е. || f( x ) || £ c· || x ||. Обратно, если " x Î B || f( x ) || £ c· || x ||, то при x = y – z будет верно " y, z Î B || f( y ) – f( z ) || = || f( y – z ) || £ c· || y – z ||, что и требовалось.

Очевидно, что 0 – неподвижная точка линейного оператора: f(0) = 0. Если сжимающий линейный оператор имеет неподвижную точку x, то f( x ) = x, и || x || = || f( x ) || £ c· || x ||, что при x ¹ 0 приводит к противоречию 1 £ c. Поэтому x = 0 – единственная неподвижная точка оператора f.

По определению, " x Î B (e – f)( x ) = x – f( x ). Предположим, что (e – f)( x ) = (e – f)( y ), т.е. x – f( x ) = y – f( y ) или x – y = f( x ) – f( y ) = f( x – y ). Значит, x – y – неподвижная точка сжимающего оператора, и поэтому, x – y = 0, т.е. x = y.

Теорема доказана.