Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Методы хорд и касательных
|
|
Следующие методы похожи на метод деления пополам, но имеют квадратичную сходимость за счёт более осмысленного выбора точки xn+1 деления отрезка [an; bn].
1. 
Метод хорд. Если на отрезке [a; b] нужно найти корень уравнения f(x) = 0 для непрерывной функции f со свойством f(a)·f(b) < 0, то можно действовать по аналогии с методом деления пополам: строим последовательность вложенных отрезков
[a0; b0] É [a1; b1] É … É [an; bn] É [an+1; bn+1 ] É …,
на концах которых функция принимает значения противоположных знаков
1. полагаем x0 = a = a0, b0 = b, D0 = |b – a|, причём f(a0)·f(b0) < 0;
2. пусть уже известны xn, an, bn, Dn, где f(an)·f(bn) £ 0;
3. если f(an) = 0 или f(bn) = 0, то корень найден, процесс завершён;
4. если Dn £ D и |f(xn)| £ D, то процесс завершён, xn – приближённое значение корня;
5. если Dn > D или |f(xn)| > D, то xn+1 = an – 
– точка пересечения с осью абсцисс хорды 
с концами в точках (an; f(an)) и (bn; f(bn)). Полагаем
[an+1; bn+1] = 
,
Dn+1 = bn+1 – an+1 , возврат к шагу 2.
Приведённый выше рисунок показывает, что этот метод может привести к результату для функций весьма общего вида. Однако всегда нужно иметь в виду, что при f(bn) = f(an) вычисления по методу хорд становятся невозможными. Таким образом, для беспечного применения метода хорд функция f на отрезке [a; b] должна быть инъективной.
Если функция f не слишком патологическая, то после локализации корня можно считать отрезок [a; b] настолько малым, что функция f на нём монотонна и даже выпукла или вогнута. Тогда метод хорд можно упростить:
 |