Теорема о неподвижной точке

Напомним некоторые определения, понятия и результаты, возможно, известные из курса анализа.

Метрическое пространство – этопроизвольное непустое множество E с заданным на нём отображением r: E ® R, называемым метрикой и удовлетворяющим следующим трём свойствам:

неотрицательность: " x, y Î E r(x, y) ³ 0 Ù (r(x, y) = 0 «x = y),

симметричность: " x, y Î E r(x, y) = r(y, x),

неравенство треугольника: " x, y, z Î E r(x, z) £ r(x, y) + r(y, z).

Величину r(x, y) называют также расстоянием между точками x, y метрического пространства E.

Примеры: 1. На числовой оси R определено обычное расстояние r(x, y) = |x – y|, превращающее R в метрическое пространство.

2. В пространстве Rⁿ определено обычное расстояние, превращающее Rⁿ в метрическое пространство: r( x, y ) = , где x = (x₁; …; x_n), y = (y₁; …; y_n) Î Rⁿ.

3. На любом множестве E ¹ Æ можно задать тривиальную метрику r(x, y) = . Ясно, что все свойства метрики выполнены.

4. Уже из предыдущих примеров видно, что одно и то же множество можно превратить в метрическое пространство разными способами, задавая на нём разные метрики. Например, на Rⁿ метрикой будет и отображение r( x, y ) = .

5. На множестве F([0; 1], R ) всех непрерывных функций, определённых на [0; 1], со значениями в R метрикой будет r(f, g) = .

В метрическом пространстве можно ввести понятие сходимости последовательности. Последовательность {x_n}_{n Î N} называется сходящейся к пределу x Î E, если " e > 0 ($ N Î N (" n ³ N r(x_n, x) < e)). В этом случае пишут x = . Это определение согласуется с обычным школьным определением сходимости числовых последовательностей.

По аналогии с пространством Rⁿ в произвольном метрическом пространстве можно ввести понятие непрерывной функции: если есть два метрических пространства (E₁, r₁), (E₂, r₂), функция f: E₁ ® E₂ называется непрерывной в точке x₀ из области определения D(f) функции f, если " e > 0 $ d > 0 " x Î D(f) r(x, x₀) < d ® r(f(x), f(x₀)) < e. Функция f, определённая на множестве M, называется непрерывной на M, если она непрерывна в каждой точке множества M.

Полностью аналогично известным определениям вводится понятие непрерывности функции нескольких аргументов f: E₁´ … ´ E_n ® E в точке (y₁; …; y_n) Î D(f) Í E₁´ … ´ E_n:

" e > 0 $ d > 0 " (x₁; …; x_n) Î D(f) Í E₁´ … ´ E_n

r₁(x₁, y₁) < d Ù … Ù r_n(x_n, y_n) < d ® r(f(x₁, …, x_n), f(y₁, …, y_n)) < e

и непрерывной функции на множестве.

Простейшим примером непрерывной функции может служить сама метрика r: E´ E ® R:

" e > 0 $ d > 0 " x₁, x₂ Î E r(x₁, y₁) < d Ù r(x₂, y₂) < d ®

® |r(x₁, x₂) – r(y₁, y₂)| < e.

Действительно, по неравенству треугольника, если r(x₁, x₂) ³ r(y₁, y₂), то r(x₁, x₂) £ r(x₁, y₁) + r(y₁, x₂) £ r(x₁, y₁) + r(y₁, y₂) + r(y₂, x₂), т.е. 0 £ r(x₁, x₂) – r(y₁, y₂) £ r(x₁, y₁) + r(y₂, x₂) < 2× d, так что по заданному e > 0 можно выбрать d = e / 2.

Другой пример непрерывности дают сжимающие отображения: отображение f: E ® E называется сжимающим, если $ c Î [0; 1) " x, y Î E r(f(x), f(y)) £ c·r(x, y). Для получения оценки r(f(x), f(x₀)) < e достаточно выбрать d = e / c: r(f(x), f(y)) £ c·r(x, y) < c× (e / c) = e. Сжимающие отображения будут играть важную роль в дальнейших рассуждениях.

Последовательность {x_n}_{n Î N} называется фундаментальной или последовательностью Коши, если

" e > 0 ($ N Î N (" n, m ³ N r(x_n, x_m) < e)).

Метрическое пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится.

Примеры: 1. Пространство Rⁿ с рассмотренными выше метриками r( x, y ) = или r( x, y ) = полно.

2. Метрическое пространство с тривиальной метрикой полно, т.к. любая последовательность Коши в нём имеет бесконечный “хвост” из одного и того же элемента, к которому и сходится. Более точно, если {x_n}_{n Î N} – последовательность Коши, то взяв e = 0, 5 из условия $ N Î N (" n, m ³ N r(x_n, x_m) < 0, 5) и тривиальности метрики, получим x_n = x_m, т.е. последовательность имеет вид x₁, x₂, …, x_N–1, x, x, …. Элемент x будет её пределом.

3. Пространство Q рациональных чисел с метрикой r(x, y) = |x – y| полным не будет. Для указания не сходящейся фундаментальной последовательности можно, например, взять бесконечную десятичную дробь = 1, 4142135623730950488016887242097… и задать последовательность {x_n}_{n Î N}, беря за x_n конечную десятичную дробь, состоящую из первых n цифр указанного бесконечного десятичного разложения иррационального числа : x₁ = 1, x₂ = 1, 4 = , x₃ = 1, 41 = и т.д. Эта последовательность будет фундаментальной: какое бы e ни взять, можно найти N со свойством 10^–N+1 < e, и члены последовательности x_n, x_m при n ³ m ³ N будут иметь m первых одинаковых цифр, т.е.

|x_n – x_m| = = = 10^–N+1 < e. Таким образом, эта фундаментальная последовательность не имеет предела в Q, хотя и сходится к в R.

4. Пространство F([0; 1], R ) всех непрерывных функций, определённых на [0; 1], со значениями в R и метрикой r(f, g) = тоже не будет полным. Это следует из того, что любую (не обязательно непрерывную функцию) можно сколь угодно близко (по этой метрике) приблизить полиномами. Таким образом, можно построить фундаментальную последовательность полиномов, не имеющую предела в классе непрерывных функций.

Важность рассмотрения полных метрических пространств обусловлена, в частности, следующей теоремой:

Теорема (о неподвижной точке сжимающего отображения). Пусть в полном метрическом пространстве E c метрикой r определено сжимающее отображение f: E ® E (т.е. отображение со свойством $ c Î [0; 1) " x, y Î E r(f(x), f(y)) £ c·r(x, y)). Тогда у f существует единственная неподвижная точка x Î E: f(x) = x. Эта неподвижная точка может быть получена, например, как предел последовательности {x_n}_{n Î N}, где x₁ = f(x₀), x_n+1 = f(x_n), а x₀ – произвольный элемент из E. При этом

r(x, x_n) £ и r(x_n+1, x) £ c·r(x_n, x).

Доказательство. Пусть x₀ Î E, x₁ = f(x₀), x_n+1 = f(x_n) (n Î N ). Докажем, что эта последовательность фундаментальна, а потому и сходящаяся в полном метрическом пространстве E.

По неравенству треугольника при n ³ m имеем

r(x_n, x_m) £ r(x_n, x_n–1) + r(x_n–1, x_m) £ r(x_n, x_n–1) + r(x_n–1, x_n–2) + r(x_n–2, x_m) £ £ … £ r(x_n, x_n–1) + r(x_n–1, x_n–2) + … + r(x_m+1, x_m).

Ввиду сжимаемости рассматриваемого отображения верны неравенства

r(x_i, x_i–1) = r(f(x_i–1), f(x_i–2)) £ c·r(x_i–1, x_i–2) £

£ c²·r(x_i–2, x_i–3) £ … £ c^i–1·r(x₁, x₀ ).

Значит, из предыдущего получаем

r(x_n, x_m) £ r(x_n, x_n–1) + r(x_n–1, x_n–2) + … + r(x_m+1, x_m) £

£ c^n–1·r(x₁, x₀ ) + c^n–2·r(x₁, x₀ ) + … + c^m·r(x₁, x₀ ) £

£ .

Если x₁ = x₀, т.е. r(x₁, x₀ ) = 0, то доказывать нечего: x₀ – неподвижная точка. В случае r(x₁, x₀ ) ¹ 0 для любого e > 0 можно найти N Î N со свойством c^N < , положив . Поэтому при n ³ m ³ N получим оценку r(x_n, x_m) £ < e.

Итак, последовательность {x_n}_{n Î N} фундаментальна, и (ввиду полноты пространства E) существует x = Î E. Соотношение x_n+1 = f(x_n) при n ® ¥ даёт (ввиду непрерывности функции f)равенство x = f(x), т.е. x – неподвижная точка отображения f. Эта неподвижная точка единственна: если y – ещё одна неподвижная точка, то из условия сжимаемости получим r(x, y) = r(f(x), f(y)) £ c·r(x, y) < r(x, y) – противоречие.

Перейдя в неравенстве к пределу при n ® ¥, получим требуемую оценку . Кроме того, из условия сжимаемости r(x_n+1, x_m+1) = r(f(x_n), f(x_m)) £ c·r(x_n, x_m) в пределе при m ® ¥ следует неравенство r(x_n+1, x) £ c·r(x_n, x).

Теорема доказана.

Частным случаем метрического пространства является нормированное векторное пространство – это векторное пространство V над полем R c заданной нормой ||·||: V ® R, удовлетворяющей свойствам:

неотрицательность: " x, y Î V || x || ³ 0 Ù ( || x || = 0 « x = 0),

однородность: " l Î R " x Î V || l· x || = |l|· || x ||,

неравенство треугольника: " x, y Î V || x + y || £ || x || + || y ||.

Примеры: 1. На пространстве Rⁿ можно задать следующие нормы || x || ₂ = , || x || _¥ = , || x || ₁ = . Легко понять, что || x || _¥ £ || x || ₂ £ || x || ₁ £ n· || x || _¥ .

2. Любое нормированное векторное пространство V с нормой || · || можно превратить в метрическое пространство, задав индуцированную метрику формулой r( x, y ) = || x – y ||.

3. На множестве F([0; 1], R ) всех непрерывных функций, определённых на [0; 1], со значениями в R нормой будет || f || = .

Поскольку нормированное пространство является метрическим, то в нём определяются понятия сходимости, которые для удобства читателя сформулируем в терминах нормы. Последовательность { x_n }_{n Î N} называется сходящейся к пределу x Î V: x = , если " e > 0 ($ N Î N (" n ³ N || x_n – x || < e)). Последовательность { x_n }_{n Î N} называется фундаментальной или последовательностью Коши, если " e > 0 ($ N Î N (" n, m ³ N || x_n – x_m || < e)). Нормированное пространство называется полным, если в нём любая фундаментальная последовательность сходится. Полные нормированные пространства называют также банаховыми. Ясно, что нормированное пространство V с нормой ||·|| будет банаховым тогда и только тогда, когда оно полно относительно индуцированной метрики r( x, y ) = || x – y ||.

Две нормы ||·|| ₁ и ||·|| ₂ на векторном пространстве V называются эквивалентными, если существуют константы m, M Î R со свойствами " x Î V m· || x || ₁ £ || x || ₂ £ M· || x || ₁. Выше в примере 1 были приведены неравенства, показывающие эквивалентность норм || x || _¥ , || x || ₂, || x || ₁.

Упомянем без доказательства следующую важную теорему:

Теорема (об эквивалентности норм в Rⁿ ). Любые две нормы в пространстве Rⁿ эквивалентны. Это означает, что любые нормы в Rⁿ определяют одну и ту же топологию: последовательности, сходящиеся по какой-то одной норме, сходятся и по другим нормам.